東北大物理'96年[2]
電気容量
のコンデンサーに交流電圧
(
，
，
)を加えると、コンデンサーに流れる電流
は、
で表される。コンデンサーのリアクタンスは
である。また、自己インダクタンス
のコイルに交流電圧
を加えると、コイルに流れる電流Iは
で表される。コイルのリアクタンスは
である。交流回路について下記の問いに答えよ。 ア ， オ ， カ ， ク ～ コ には式を、 イ ～ エ には数値(有効数字2桁まで)を、 サ ， シ には適当な言葉を記入せよ。なお、 キ ， ス は図で示せ。
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解答 交流回路に関する基本問題ですが、数式処理の点でちょっと難しいカ所があります。
交流では、抵抗R，コイルL，コンデンサーCを直列接続したときの合成インピーダンスは、それぞれのインピーダンス(抵抗R，誘導リアクタンス
，容量リアクタンス
)の和
ではなく、横軸にR，縦軸上向きに
，縦軸下向きに
をとったときのベクトル和の大きさとして、
となることに注意してください。
また、誘導リアクタンス、容量リアクタンスを考えるとき、電流、電圧の瞬時値については、オームの法則を適用できない(位相がずれる)ことに注意してください。ただし、電流、電圧の振幅
，
(従って、実効値
，
)については、オームの法則と類似の関係式：
，
が成り立ちます。
(ア) 自己インダクタンス
のコイル、静電容量
のコンデンサー、抵抗
を直列接続したときの、角周波数
におけるインピーダンスは、 
･･･①で与えられます。
......[答](イ) 
は、Z最小のときに最大になります。ω が変化するとき、①で与えられるZが最小になるのは、 
･･･②のときです。よって、
......[答](ウ) ②が成立するとき①は、
となります。よって、
の最大値は、 
......[答](エ) このとき、AB間のインピーダンスは、②よりゼロです。従って、AB間の電位差もゼロです。
0 ......[答]
(オ) 
および
のとき、
(
)，
が出てくるように①を変形して、 
......[答](カ) 
及び
のとき、
(
)，
が出てくるように①を変形して、 
......[答]
(キ) これらの結果よりω の関数
の概略は右図黒色実線(黄緑色の曲線は
，水色の曲線は
)。(ク) 抵抗両端の電圧が0なので、コイルとコンデンサーの両端に交流電圧
がかかります。 問題文より、
のとき、コンデンサーに流れる電流は、 
･･･③
......[答](ケ) コイルに流れる電流は、
･･･④
......[答](コ) 抵抗を流れる電流が0なので、
③，④より、
∴ 
......[答]コンデンサー ......[答]
(シ) 
のとき、コイルのリアクタンス
，コンデンサーのリアクタンス
→大，よって、電流はほとんどコイルを流れます。 
(ス) 
(サ)のとき、合成インピーダンスは、
(コイルとコンデンサーが並列であることに注意)
(シ)のとき、合成インピーダンスは、
これらの結果よりω の関数
の概略は右図黒色実線。
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(1) 図1はコンデンサーC (電気容量
)，コイルL (自己インダクタンス
)，抵抗R (抵抗値
)を直列に接続し、交流電圧
を加えた交流回路である。回路を流れる電流Iは、
を交流電圧に対する電流Iの位相差として、
で表される。ここで、
は
で与えられる。Zはこの回路のインピーダンスであり、 ア 
で表される。
，
，
，
とすると、ω が
イ 
のとき
はω に関して最大になり、その値は ウ 
となる。また、このときのAB間の電位差
は エ 
となる。この現象を共振という。
および
のときの
の漸近形は オ 
で表され、
及び
のときの
の漸近形は カ 
で表される。これらの結果を用いて、ω の関数として
の概略を キ に図示せよ。
(2) 図2は、図1でコイルLとコンデンサーCを並列に接続した場合の交流回路を示す。交流電圧の角周波数ω を変えていくと、
のとき抵抗Rを流れる電流は0になった。このとき、コンデンサーCに流れる電流
は ク 
で、一方、コイルに流れる電流
は ケ 
である。これより、
は コ 
と求まる。この現象も共振と呼ばれる。
のとき、コンデンサーとコイルのうち、電流はほとんど サ を流れる。また、
のときは電流はほとんど シ を流れる。抵抗Rを流れる電流Iは、
を交流電圧に対する位相差として、
と表される。
，
，
，
の場合、ω の関数として
の概略を ス に図示せよ。図中に、
の数値と
及び
のときの
の数値をそれぞれ示せ。
と
を無視すると、
の漸近形は、
と
を無視すると、
の漸近形は、
