京都大学2021年前期物理入試問題

[1]
 次の文章を読んで、に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、はすでにで与えられたものと同じものを表す。また、問1では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし、重力加速度の大きさはとする。

(1) 1(a)のように、質量mの小球を、初速度の大きさV,地表から上向きに角度θで投げ上げる。小球は最大高度に達した後、落下し始めるが、地点Aの高度hにおいて、質量Mのボールと一次元的に衝突させ、その反動を利用して小球を高く跳ね上げる。ここで、一次元的に衝突するとは、図1(b)のように衝突直前直後の小球とボールが同一直線上に沿って運動することをさし、その直線に沿う衝突軸を定義する。衝突軸は衝突直前のボールの進行方向を正とし、衝突軸方向の速度成分を、以下略して「速度成分」と記載する。なお、衝突は瞬間的に起こるものとし、小球とボールの大きさ、および空気抵抗の影響は無視する。
1(b)のように、衝突直前の小球について、その速度の大きさを,速度の方向と水平面とのなす角度の大きさをとすると、Vθhを用いてと表せる。衝突直後の小球、ボールの速度成分をそれぞれと表し、衝突直前のボールの速度の大きさが小球と同様にだったとすると、運動量保存則は次式で表される。
 ・・・(i)
ここで、は、mM,およびを用いて表される量である。衝突が弾性衝突であったとすると、
 ・・・(ii)
が成り立つので、式(i)(ii)より、衝突直後の速度成分は、mMを用いてと表せる。これより、ボールの質量Mが小球の質量m倍だった場合、衝突直後のボールの速度成分0となり、衝突直後の小球の速度成分の大きさは倍となる。このとき、跳ね上がった小球が到達する最大高度は、hVθを用いてとなる。

(2) (1)の小球をさらに高く跳ね上げるため、図2のように、最大高度に到達した後に落下してくる小球めがけて、高度hでボールを衝突させる、という過程を繰り返し行なったとしよう。ここで、(1)と同様に、小球とボールは一次元的に衝突し、図3のように衝突ごとに定義される衝突軸方向の速度成分を、以下略して「速度成分」と記載する。またn回目()の衝突時のボールは、衝突直前の速度の大きさが,衝突直後の速度成分0となる質量を有するものとする。
このとき、n回目の衝突直後における小球の速度成分と表し、衝突が弾性衝突であったとすると、の間に、次の関係式が成り立つ。ただし、とする。
 ・・・(iii)
(1)より、であるため、式(iii)を解いて、と求まる。これより、回目の衝突より前に小球が到達する最大高度は、hVθnを用いて、となる。

1 (2)における衝突過程について、以下の問いに答えよ。
(i) n回目に衝突させるボールの質量は、小球の質量mの何倍にすればよいか。nを用いて表せ。導出過程も示せ。
(ii) 衝突させるボールの質量に上限があると、衝突直後のボールの速度成分が0となる衝突回数に上限ができる。ボールの質量の上限が小球の質量m10倍である場合、衝突回数が上限に達したときの小球が到達する最大高度は、ボールと衝突する前の最大高度に比べて何倍になるか。の場合について答えよ。

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[2]  次の文章を読んで、に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、はすでにで与えられたものと同じものを表す。また、問1,問2では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし、円周率をπとする。

1のように、半径Lの円弧形をした導線XYに、中心Oを支点として端点Pで円弧と接しながら回転できる長さLの導体棒OPが接続されており、OY間に抵抗値Rの抵抗と電気容量Cのコンデンサーが導線で接続されている。XYを直径とする灰色の半円領域に、紙面の裏から表に向かう磁束密度Bの一様な磁界がかけられており、時刻において導体棒の端点Pは点Xの位置にある。まず、導体棒を一定の角速度で反時計回りに回転させる。端点Pが時刻で点Yに到達した後、導体棒を静止させずに瞬間的に折り返す。点Yから時計回りに同じ大きさの角速度で回転させると、端点Pは時刻で点Xに戻り、時刻のときと同様に瞬間的に折り返す。時刻以降は、の導体棒の運動を繰り返すとする。導線、導体棒、円弧の接点における抵抗は無視できるとし、時刻においてコンデンサーに電荷は蓄えられていなかったものとする。電流の符号は図1の矢印の向きに流れる場合を正とし、導体棒に生じる起電力の符号は、正の電流を流す場合を正とする。また、回路を流れる電流がつくり出す磁場は無視する。

(1) 時刻で導体棒の端点Pが点Xから動き始めたとき、閉回路OPYOを貫く磁束の変化から、導体棒の両端に生じる起電力はと求められる。閉回路には電流が流れ出し、コンデンサーには電荷が蓄えられ始める。
導体棒が点Yに向かって回転しているとき、時刻t ()において回路を流れる電流をI,コンデンサーに蓄えられている電気量をQとする。このとき、キルヒホッフの第2法則より
 ・・・(i)
の関係がある。電流Iは、時刻のときの電流よりも小さい。導体棒は回転方向と反対向きに磁界から力を受けるため、導体棒を一定の角速度で回転させ続けるためには、外部から仕事を与えなければならない。いま、微小時間の間にコンデンサーに蓄えられる電気量がだけ増加したとする。ただし、微小時間の間に電流Iは変化せず、2次以上の項は無視することとする。微小時間の間に抵抗で消費されるジュール熱は,コンデンサーに蓄えられる静電エネルギーの増加量はである。ただし、を含まない式で答えること。この両者の和は、IBLTを用いてと表すことができ、の間に外部から導体棒に与えた仕事に等しい。

(2) 導体棒の端点Pが点Xを出発した後、の間においてコンデンサーに蓄えられている電気量Qは、図2のグラフの曲線で示されるような時間変化を示した。導体棒の角速度が小さく、端点Pが点Yに到達するよりも前に電流が十分小さくなり、時刻において電流が0とみなせるとき、時刻における電気量である。時刻における曲線の接線がの直線と交わる点のt の値をとする。時刻における接線の傾きが、導体棒の端点Pが点Xを出発した直後の微小時間における電気量の変化を表すことに注意すると、BLTCRのうち必要なものを用いてと表せる。

1 時刻において端点Pが点Yに到達した後、静止させずに瞬間的に折り返すと、電流が再び流れ出し、点Xに到達するよりも前に電流が0とみなせる状態になったとする。の間においてコンデンサーに蓄えられている電気量Qの時間変化を、時刻における接線の傾きが分かるように、図2と同様に描け。

(3) 次に、導体棒の角速度が大きく、時刻で端点Pが点Yに到達したときに電流が0とみなせない場合を考える。
時刻t においてコンデンサーに蓄えられている電気量を,回路を流れる電流を,導体棒に生じる起電力をとすると、キルヒホッフの第2法則は
 ・・・(ii)
と書くことができ、についての解が求められることが知られている。ある時刻範囲において導体棒の起電力が一定であるとすると、におけるについての式(ii)の解は
 ・・・(iii)
と表すことができる。ここで、は時刻においてコンデンサーに蓄えられている電気量、が十分大きく、電流が0とみなせるときの時刻における電気量、は自然対数の底、であり、で表される定数である。
まず、の場合を考える。においては一定値であるので、
(2)よりとおける。したがって、とおくと、時刻においてコンデンサーに蓄えられている電気量は、xを用いてと表せる。
次に、の場合を考えると、それぞれとして、式
(iii)を適当な式で置き換え、を求めることができる。時刻においてコンデンサーに蓄えられている電気量は、と同様にxを用いて、それぞれと表すことができる。

2 導体棒を何度も往復させながら十分な時間が経過したとき、コンデンサーに蓄えられている電気量は、最大値と最小値の間で変化し、さらに時間が経過しても最大値と最小値は一定のままであった。この場合のTの大小関係について、xの値を求めて説明せよ。
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[3]  次の文章を読んで、   に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、   はすでに   で与えられたものと同じものを表す。また、問1,問2では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし、円周率をπとする。

(1) 1のように、X線の結晶による反射を考える。結晶の中で、原子は間隔dで平行に並んだ面T,U,V,・・・上に規則正しく並んでいる。また、X線の発生源は結晶から十分離れた場所に置かれており、X線は結晶に対して同じ方向から平行に入射するとしてよい。このとき、入射X線と結晶面のなす角度をθとする。原子により反射されたX線を結晶面から角度θの方向にある検出器で検出する。検出器も結晶から十分離れた場所にあり、検出器で観測する反射X線は全て平行であるとしてよい。ここで、θ0からの範囲で考えるものとする。またX線の波長をλとする。
2に示すように、結晶面T上にある原子Pと、その一層下の結晶面U上にある原子QによるX線の反射を考える。原子Qは原子Pの直下にあるものとする。このとき、2つのX線の経路差はdおよびθを用いて あ と表される。従って、2つのX線が強め合うための条件式は、kを正の整数として波長λ,間隔d,および角度θを用いて い で表される。


(2) 原子とX線の間にはたらく力により、X線の軌道は結晶内に入るとわずかながら変化する。それを屈折率の形で表すと、結晶中の屈折率n1よりごくわずかに小さい値を持つ。また、X線の空気中の屈折率は1であるとする。屈折率を考慮すると(1)で求めた条件式がどのように変更されるか考察しよう。図2と同様に、結晶面T上にある原子Pと、その一層下の結晶面U上にある原子QによるX線の反射を考える。ただし、X線は全反射が起こらない角度で入射するものとする。このとき、結晶内ではX線の波長が変化し、図3に描かれているように原子Qには角度θより小さい角度X線が入射することになるが、の間には う という関係式が成り立つ。また、結晶中の波長をとすると、は空気中での波長λと結晶中の屈折率nを用いて え で表される。従って、2つのX線の位相の差は、dλnθを用いて お と表される。ただし、X線の発生源における2つのX線の初期位相は同じであるものとする。また、 お の整数倍の場合にはX線が強め合うという条件から、2つのX線が強め合うための条件式は、dλnθ,正の整数kを用いて か で表される。

(3) 電子や中性子などの粒子は、波動の性質も示すことが知られている。これをド・ブロイ波(物質波)といい、その波長λは粒子の質量をm,速さをvとして
で与えられる。ここで、hはプランク定数と呼ばれる定数である。ド・ブロイ波は周期T,波長λの正弦波で表せ、粒子が結晶に入射するとX線のときのように回折や干渉が起こる。
いま、図
4に示すようなxy平面が水平面、z軸下向きが重力の向きとなるよう直交座標軸をとり、重力加速度の大きさをgとする。平面Σは、水平面と交わる直線がy軸と平行となる平面であり、その直線を軸にして回転できるものとする。平面Σが水平面となす角をαとする(4の角度の向きを正とする)。平面Σ内に平行四辺形ABCD,そして点ENが存在し、辺ABは水平面上にある。点NABおよび点DCEは、それぞれ同じ直線上にあり、辺ABと辺DCの間隔はsである(5参照)
平面
Σ内の詳細を図5に示す。ここで、中性子が平行四辺形ABCD上の辺を運動するよう、適当な結晶を点ABCDに適切な角度で配置し、点Nにある中性子源から点Aに速さを持つ中性子のビームを入射させる。ただし、中性子は十分に速く、中性子の軌道は重力によって影響を受けないとする。また、結晶の厚さは無視できるほど十分薄いとし、さらに、結晶中の屈折率は近似的にとして取り扱うものとする。中性子の質量をmとし、入射するド・ブロイ波の波長をとする。この中性子ビームは一般に結晶を透過する成分と結晶により散乱される成分に分かれるが、散乱される成分に対しては(1)で求めた反射の条件が満たされるものとする。結晶で2つに分かれた中性子の波を再度2つの結晶上の点BおよびDで反射させることにより、点Cに集約させ、点Eでド・ブロイ波を観測する。
にとり、平行四辺形
ABCDが水平面に対して垂直になる場合を考える。中性子が辺DCを動くときは、速さがと異なるため、sを用いると、波長は き となる。 き の違いは非常に小さいが、2つの異なる経路によるド・ブロイ波の干渉を見ることにより、中性子に対する重力の影響を観測することができる。

1 にとり、辺ABの長さをとしたとき、中性子が経路ABCEを通る場合と経路ADCEを通る場合で、正弦波の位相の差を求め、mshの中から必要なものを用いて答えよ。導出過程も示せ。なお、ド・ブロイ波の周期T2つの経路で変化せず、位相の差は波長の違いのみで決まる。さらに、に比べてはるかに小さいものとし、必要に応じて1より十分に小さいときに成り立つ近似式
を用いてもよい。

2 ,入射するド・ブロイ波の波長とする。以下の問いに答えよ。
(i) 4の角度αを変化させながら点Eで中性子ビーム強度を観測することにより、重力の影響をみることができる。角度α0からまで増加させたとき、点Eで中性子ビームが干渉により強め合うことが何回起こるか答えよ。
(ii) 角度α0から増加させたとき、点Eで中性子ビームがはじめて干渉により弱め合うときのの値を有効数字2けたで答えよ。
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