京大物理'21年前期[2]

次の文章を読んで、に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、はすでにで与えられたものと同じものを表す。また、問1,問2では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし、円周率をπとする。

1のように、半径Lの円弧形をした導線XYに、中心Oを支点として端点Pで円弧と接しながら回転できる長さLの導体棒OPが接続されており、OY間に抵抗値Rの抵抗と電気容量Cのコンデンサーが導線で接続されている。XYを直径とする灰色の半円領域に、紙面の裏から表に向かう磁束密度Bの一様な磁界がかけられており、時刻において導体棒の端点Pは点Xの位置にある。まず、導体棒を一定の角速度で反時計回りに回転させる。端点Pが時刻で点Yに到達した後、導体棒を静止させずに瞬間的に折り返す。点Yから時計回りに同じ大きさの角速度で回転させると、端点Pは時刻で点Xに戻り、時刻のときと同様に瞬間的に折り返す。時刻以降は、の導体棒の運動を繰り返すとする。導線、導体棒、円弧の接点における抵抗は無視できるとし、時刻においてコンデンサーに電荷は蓄えられていなかったものとする。電流の符号は図1の矢印の向きに流れる場合を正とし、導体棒に生じる起電力の符号は、正の電流を流す場合を正とする。また、回路を流れる電流がつくり出す磁場は無視する。

(1) 時刻で導体棒の端点Pが点Xから動き始めたとき、閉回路OPYOを貫く磁束の変化から、導体棒の両端に生じる起電力はと求められる。閉回路には電流が流れ出し、コンデンサーには電荷が蓄えられ始める。
導体棒が点Yに向かって回転しているとき、時刻t ()において回路を流れる電流をI,コンデンサーに蓄えられている電気量をQとする。このとき、キルヒホッフの第2法則より
 ・・・(i)
の関係がある。電流Iは、時刻のときの電流よりも小さい。導体棒は回転方向と反対向きに磁界から力を受けるため、導体棒を一定の角速度で回転させ続けるためには、外部から仕事を与えなければならない。いま、微小時間の間にコンデンサーに蓄えられる電気量がだけ増加したとする。ただし、微小時間の間に電流Iは変化せず、2次以上の項は無視することとする。微小時間の間に抵抗で消費されるジュール熱は,コンデンサーに蓄えられる静電エネルギーの増加量はである。ただし、を含まない式で答えること。この両者の和は、IBLTを用いてと表すことができ、の間に外部から導体棒に与えた仕事に等しい。

(2) 導体棒の端点Pが点Xを出発した後、の間においてコンデンサーに蓄えられている電気量Qは、図2のグラフの曲線で示されるような時間変化を示した。導体棒の角速度が小さく、端点Pが点Yに到達するよりも前に電流が十分小さくなり、時刻において電流が0とみなせるとき、時刻における電気量である。時刻における曲線の接線がの直線と交わる点のt の値をとする。時刻における接線の傾きが、導体棒の端点Pが点Xを出発した直後の微小時間における電気量の変化を表すことに注意すると、BLTCRのうち必要なものを用いてと表せる。

1 時刻において端点Pが点Yに到達した後、静止させずに瞬間的に折り返すと、電流が再び流れ出し、点Xに到達するよりも前に電流が0とみなせる状態になったとする。の間においてコンデンサーに蓄えられている電気量Qの時間変化を、時刻における接線の傾きが分かるように、図2と同様に描け。

(3) 次に、導体棒の角速度が大きく、時刻で端点Pが点Yに到達したときに電流が0とみなせない場合を考える。
時刻t においてコンデンサーに蓄えられている電気量を,回路を流れる電流を,導体棒に生じる起電力をとすると、キルヒホッフの第2法則は
 ・・・(ii)
と書くことができ、についての解が求められることが知られている。ある時刻範囲において導体棒の起電力が一定であるとすると、におけるについての式(ii)の解は
 ・・・(iii)
と表すことができる。ここで、は時刻においてコンデンサーに蓄えられている電気量、が十分大きく、電流が0とみなせるときの時刻における電気量、は自然対数の底、であり、で表される定数である。
まず、の場合を考える。においては一定値であるので、
(2)よりとおける。したがって、とおくと、時刻においてコンデンサーに蓄えられている電気量は、xを用いてと表せる。
次に、の場合を考えると、それぞれとして、式
(iii)を適当な式で置き換え、を求めることができる。時刻においてコンデンサーに蓄えられている電気量は、と同様にxを用いて、それぞれと表すことができる。

2 導体棒を何度も往復させながら十分な時間が経過したとき、コンデンサーに蓄えられている電気量は、最大値と最小値の間で変化し、さらに時間が経過しても最大値と最小値は一定のままであった。この場合のTの大小関係について、xの値を求めて説明せよ。


解答 難問というわけではなく、後半は問題文の(iii)式をどう利用するかというだけですが、問題を解くための色々な情報が錯綜するので、問題文のあちこちを確認しながら解き進めなければいけません。

(1) において、導体棒は角速度で回転するので時刻t での回転角は,扇形OPXの面積S (一般角を参照)は、,扇形OPXを貫く磁束Φは、,誘導起電力は、ファラデーの電磁誘導の法則より、
起電力の向きは、フレミング右手の法則より、OPの方向に電流を流す向きで、このとき電流Iは、Pが高電位でOが低電位です。題意よりイの起電力は正で答えて、 ......[]
においては、コンデンサーは導通しているのと同じで、閉回路に流れる電流(正です)は、オームの法則より、 ......[]
閉回路OPYCRで、起電力は,電圧降下は、コンデンサーにおいて,抵抗において,よってキルヒホッフの第2法則は、
 ・・・(i)
となります。微小時間の間に抵抗で消費されるジュール熱は、 ......[]
コンデンサーに蓄えられる静電エネルギーの増加量は、を無視して、
......[]
両者の和は、IBLTを用いて答えるので、(i)式より、 ......[]

(2) (i)式でとして、 ∴ ......[]
において()の結果より、,これが図2のグラフのにおける接線の傾き()の結果、より、 ......[]

1 において、導体棒はYからXに向かって回転します。起電力の向きは、フレミング右手の法則より、POの向きに電流を流す方向で負、また,これより、(i)式は、
 ・・・@
となります。@でとすると()の結果を用いて、,電流が0に近づくと、コンデンサーの電気量はに近づきます(コンデンサーの過渡現象を参照)
また、において
()より、コンデンサーは電気量を蓄えているので、@より、,よって電流は、,これが、Q-t グラフのにおける接線の傾き(傾きは負ですが、絶対値はのときの2)になります。接線はをの通るので、接線の式は、
ここで、とすると()の結果を用いて、,よって、右図。

(3) 問題文中のキルヒホッフの第2法則(ii)式で、とすると、
 (微分方程式物理への応用その2を参照)
Vが一定であれば、
(D:積分定数)
 ・・・A
(2)において()のときとして、,Aに代入して、
 ・・・B
より、
 ・・・C
において、とすると、
よって、ここではとしてCより、
このグラフが図
2です。
(3)においては、Cにおいて、
のときは電流が0とみなせるときの電気量なので、Cでとして、,よって、,Cに入れ戻して、
ここで
(今度は、とみなせないので、も言えません)として、とおくと、より、
  ......[]
次に、として、問題文の(iii)式を導いてみます。
より、Aは、
 ・・・D
また、のときとして、 ∴
Dに入れ直して、 ∴
これが問題文の(iii)式です。
においては、
(iii)式で、,また、起電力と電流の向きが逆になるので、(1を参照)として、()の結果より、,よって、に注意して、
  ......[]
においては、(iii)式で、として、起電力と電流の向きは元に戻るので、
  ......[]

2 kを自然数として、においては、導体棒はYからXに向かって回転し、(iii)式で、とし、に注意して、

 ∴
においては、導体棒はXからYに向かって回転し、(iii)式で、とし、に注意して、

 ∴
なので、以上より、
 ( )
よって、



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