京大物理'21年前期[3]

(1) 図1のように、X線の結晶による反射を考える。結晶の中で、原子は間隔dで平行に並んだ面Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，･･･上に規則正しく並んでいる。また、X線の発生源は結晶から十分離れた場所に置かれており、X線は結晶に対して同じ方向から平行に入射するとしてよい。このとき、入射X線と結晶面のなす角度をθとする。原子により反射されたX線を結晶面から角度θの方向にある検出器で検出する。検出器も結晶から十分離れた場所にあり、検出器で観測する反射X線は全て平行であるとしてよい。ここで、θは0から

の範囲で考えるものとする。またX線の波長をλとする。

図2に示すように、結晶面Ⅰ上にある原子Pと、その一層下の結晶面Ⅱ上にある原子QによるX線の反射を考える。原子Qは原子Pの直下にあるものとする。このとき、2つのX線の経路差はdおよびθを用いて　あ　と表される。従って、2つのX線が強め合うための条件式は、kを正の整数として波長λ，間隔d，および角度θを用いて　い　で表される。

(2) 原子とX線の間にはたらく力により、X線の軌道は結晶内に入るとわずかながら変化する。それを屈折率の形で表すと、結晶中の屈折率nは1よりごくわずかに小さい値を持つ。また、X線の空気中の屈折率は1であるとする。屈折率を考慮すると(1)で求めた条件式がどのように変更されるか考察しよう。図2と同様に、結晶面Ⅰ上にある原子Pと、その一層下の結晶面Ⅱ上にある原子QによるX線の反射を考える。ただし、X線は全反射が起こらない角度で入射するものとする。このとき、結晶内ではX線の波長が変化し、図3に描かれているように原子Qには角度θより小さい角度

でX線が入射することになるが、

と

の間には　う　という関係式が成り立つ。また、結晶中の波長を

とすると、

は空気中での波長λと結晶中の屈折率nを用いて　え　で表される。従って、2つのX線の位相の差は、d，λ，n，θを用いて　お　と表される。ただし、X線の発生源における2つのX線の初期位相は同じであるものとする。また、　お　が

の整数倍の場合にはX線が強め合うという条件から、2つのX線が強め合うための条件式は、d，λ，n，θ，正の整数kを用いて　か　で表される。

(3) 電子や中性子などの粒子は、波動の性質も示すことが知られている。これをド・ブロイ波(物質波)といい、その波長λは粒子の質量をm，速さをvとして

で与えられる。ここで、hはプランク定数と呼ばれる定数である。ド・ブロイ波は周期T，波長λの正弦波で表せ、粒子が結晶に入射するとX線のときのように回折や干渉が起こる。
いま、図4に示すようなxy平面が水平面、z軸下向きが重力の向きとなるよう直交座標軸をとり、重力加速度の大きさをgとする。平面Σは、水平面と交わる直線がy軸と平行となる平面であり、その直線を軸にして回転できるものとする。平面Σが水平面となす角をαとする(図4の角度の向きを正とする)。平面Σ内に平行四辺形ABCD，そして点E，Nが存在し、辺ABは水平面上にある。点N，A，Bおよび点D，C，Eは、それぞれ同じ直線上にあり、辺ABと辺DCの間隔はsである(図5参照)。
平面Σ内の詳細を図5に示す。ここで、中性子が平行四辺形ABCD上の辺を運動するよう、適当な結晶を点A，B，C，Dに適切な角度で配置し、点Nにある中性子源から点Aに速さ