京大物理'21年前期[1]
次の文章を読んで、
に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、
はすでに
で与えられたものと同じものを表す。また、問1では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし、重力加速度の大きさは
とする。
(1) 図1(a)のように、質量mの小球を、初速度の大きさV，地表から上向きに角度θで投げ上げる。小球は最大高度
に達した後、落下し始めるが、地点Aの高度hにおいて、質量Mのボールと一次元的に衝突させ、その反動を利用して小球を高く跳ね上げる。ここで、一次元的に衝突するとは、図1(b)のように衝突直前直後の小球とボールが同一直線上に沿って運動することをさし、その直線に沿う衝突軸を定義する。衝突軸は衝突直前のボールの進行方向を正とし、衝突軸方向の速度成分を、以下略して「速度成分」と記載する。なお、衝突は瞬間的に起こるものとし、小球とボールの大きさ、および空気抵抗の影響は無視する。図1(b)のように、衝突直前の小球について、その速度の大きさを
，速度の方向と水平面とのなす角度の大きさを
とすると、V，θ，h，
を用いて
，
と表せる。衝突直後の小球、ボールの速度成分をそれぞれ
，
と表し、衝突直前のボールの速度の大きさが小球と同様に
だったとすると、運動量保存則は次式で表される。 
･･･(i)ここで、
は、m，M，および
を用いて表される量である。衝突が弾性衝突であったとすると、 
･･･(ii)が成り立つので、式(i)，(ii)より、衝突直後の速度成分
，
は、
，m，Mを用いて
，
と表せる。これより、ボールの質量Mが小球の質量mの
倍だった場合、衝突直後のボールの速度成分
は0となり、衝突直後の小球の速度成分
の大きさは
の
倍となる。このとき、跳ね上がった小球が到達する最大高度
は、h，V，θ，
を用いて
となる。
(2) (1)の小球をさらに高く跳ね上げるため、図2のように、最大高度に到達した後に落下してくる小球めがけて、高度hでボールを衝突させる、という過程を繰り返し行なったとしよう。ここで、(1)と同様に、小球とボールは一次元的に衝突し、図3のように衝突ごとに定義される衝突軸方向の速度成分を、以下略して「速度成分」と記載する。またn回目(
)の衝突時のボールは、衝突直前の速度の大きさが
，衝突直後の速度成分
が0となる質量
を有するものとする。このとき、n回目の衝突直後における小球の速度成分
を
と表し、衝突が弾性衝突であったとすると、
と
の間に、次の関係式が成り立つ。ただし、
とする。 
･･･(iii)(1)より、
であるため、式(iii)を解いて、
と求まる。これより、
回目の衝突より前に小球が到達する最大高度
は、h，V，θ，
，nを用いて、
となる。
問1 (2)における衝突過程について、以下の問いに答えよ。
(i) n回目に衝突させるボールの質量
は、小球の質量mの何倍にすればよいか。nを用いて表せ。導出過程も示せ。 (ii) 衝突させるボールの質量に上限があると、衝突直後のボールの速度成分が0となる衝突回数に上限ができる。ボールの質量の上限が小球の質量mの10倍である場合、衝突回数が上限に達したときの小球が到達する最大高度は、ボールと衝突する前の最大高度
に比べて何倍になるか。
の場合について答えよ。
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解答 いかにも面倒な計算になりそうな繰り返し衝突の問題ですが、誘導通り進めていけば大したことはありません。
∴ 
......[ア] ･･･①衝突までの小球の運動は、水平方向は速さ
の等速運動で、衝突直前の速さは
なので、
，①を用いて、 
･･･②
......[イ]
......[ウ] ･･･③反発係数の式：
，
......[エ] ∴ 
･･･④③に代入して、
∴ 
......[オ]④に代入して、
......[カ]
とすると、
，3 ......[キ]
[オ]の結果に代入して、
，2 ......[ク]鉛直方向について、衝突直後に初速度
で上昇しはじめ、最高点で速度0，最高点までに
上昇するので、等加速度運動の公式より、 ①，②，(ク)の結果を用いて、
......[ケ]
(2) n回目の衝突直前の小球の速度成分は力学的エネルギー保存より
，ボールの速度成分は
，衝突直後の小球、ボールの速度成分は
，
です。衝突前後の運動量保存より、 
∴ 
......[コ][ク]の結果より
，
は、初項
，公差1の等差数列で、
......[サ]
回目の衝突直後の小球の速度成分は
，衝突軸と水平方向とのなす角を
として、小球の速度の水平方向成分は
，力学的エネルギー保存より、n回目の衝突直前の小球の速さは
，よって、n回目の衝突軸と水平方向とのなす角を
として、
∴ 
，従って、
･･･⑥
鉛直方向について、n回目の衝突直後に初速度
で上昇しはじめ、最高点で速度0，最高点までに
上昇するので、等加速度運動の公式より、 [サ]の結果より、
なので、⑥，②を用いて、
問1(i) [サ]の結果より、
，
，また、
を⑤に代入して、
最初に投げ上げたときの初速度の鉛直方向成分は
，高さ
の地点とで等加速度運動の公式より、 
∴ 
[シ]の結果で、
，
として、 
，25倍......[答]
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のみ、地点Aの高度hで衝突直前の力学的エネルギーは、運動エネルギーの
と位置エネルギーの
，両者の力学的エネルギー保存より、
，
，
なので、
......[シ]
∴ 
，
倍 ......[答]
より、
，よって、衝突回数nの上限は
