京大物理'21年前期[1]

次の文章を読んで、に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、はすでにで与えられたものと同じものを表す。また、問1では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし、重力加速度の大きさはとする。

(1) 1(a)のように、質量mの小球を、初速度の大きさV,地表から上向きに角度θで投げ上げる。小球は最大高度に達した後、落下し始めるが、地点Aの高度hにおいて、質量Mのボールと一次元的に衝突させ、その反動を利用して小球を高く跳ね上げる。ここで、一次元的に衝突するとは、図1(b)のように衝突直前直後の小球とボールが同一直線上に沿って運動することをさし、その直線に沿う衝突軸を定義する。衝突軸は衝突直前のボールの進行方向を正とし、衝突軸方向の速度成分を、以下略して「速度成分」と記載する。なお、衝突は瞬間的に起こるものとし、小球とボールの大きさ、および空気抵抗の影響は無視する。
1(b)のように、衝突直前の小球について、その速度の大きさを,速度の方向と水平面とのなす角度の大きさをとすると、Vθhを用いてと表せる。衝突直後の小球、ボールの速度成分をそれぞれと表し、衝突直前のボールの速度の大きさが小球と同様にだったとすると、運動量保存則は次式で表される。
 ・・・(i)
ここで、は、mM,およびを用いて表される量である。衝突が弾性衝突であったとすると、
 ・・・(ii)
が成り立つので、式(i)(ii)より、衝突直後の速度成分は、mMを用いてと表せる。これより、ボールの質量Mが小球の質量m倍だった場合、衝突直後のボールの速度成分0となり、衝突直後の小球の速度成分の大きさは倍となる。このとき、跳ね上がった小球が到達する最大高度は、hVθを用いてとなる。

(2) (1)の小球をさらに高く跳ね上げるため、図2のように、最大高度に到達した後に落下してくる小球めがけて、高度hでボールを衝突させる、という過程を繰り返し行なったとしよう。ここで、(1)と同様に、小球とボールは一次元的に衝突し、図3のように衝突ごとに定義される衝突軸方向の速度成分を、以下略して「速度成分」と記載する。またn回目()の衝突時のボールは、衝突直前の速度の大きさが,衝突直後の速度成分0となる質量を有するものとする。
このとき、n回目の衝突直後における小球の速度成分と表し、衝突が弾性衝突であったとすると、の間に、次の関係式が成り立つ。ただし、とする。
 ・・・(iii)
(1)より、であるため、式(iii)を解いて、と求まる。これより、回目の衝突より前に小球が到達する最大高度は、hVθnを用いて、となる。

1 (2)における衝突過程について、以下の問いに答えよ。
(i) n回目に衝突させるボールの質量は、小球の質量mの何倍にすればよいか。nを用いて表せ。導出過程も示せ。
(ii) 衝突させるボールの質量に上限があると、衝突直後のボールの速度成分が0となる衝突回数に上限ができる。ボールの質量の上限が小球の質量m10倍である場合、衝突回数が上限に達したときの小球が到達する最大高度は、ボールと衝突する前の最大高度に比べて何倍になるか。の場合について答えよ。


解答 いかにも面倒な計算になりそうな繰り返し衝突の問題ですが、誘導通り進めていけば大したことはありません。

(1) 地表を位置エネルギーの基準にとると、投げ上げた地点での力学的エネルギーは、運動エネルギーのみ、地点Aの高度hで衝突直前の力学的エネルギーは、運動エネルギーのと位置エネルギーの,両者の力学的エネルギー保存より、
 ∴ ......[] ・・・@
衝突までの小球の運動は、水平方向は速さの等速運動で、衝突直前の速さはなので、,@を用いて、
 ・・・A
......[]
衝突前後の運動量保存より、
......[] ・・・B
反発係数の式 ......[] ∴  ・・・C
Bに代入して、 ∴ ......[]
Cに代入して、 ......[]
とすると、3 ......[]
[
]の結果に代入して、2 ......[]
鉛直方向について、衝突直後に初速度で上昇しはじめ、最高点で速度0,最高点までに上昇するので、等加速度運動の公式より、
@,A,()の結果を用いて、
......[]

(2) n回目の衝突直前の小球の速度成分は力学的エネルギー保存より,ボールの速度成分は,衝突直後の小球、ボールの速度成分はです。衝突前後の運動量保存より、
 ・・・D
反発係数の式
ここで、問題文より、なので、
 ∴ ......[]
[]の結果よりは、初項,公差1等差数列で、 ......[]
回目の衝突直後の小球の速度成分は,衝突軸と水平方向とのなす角をとして、小球の速度の水平方向成分は力学的エネルギー保存より、n回目の衝突直前の小球の速さは,よって、n回目の衝突軸と水平方向とのなす角をとして、 ∴ ,従って、 ・・・E
鉛直方向について、
n回目の衝突直後に初速度で上昇しはじめ、最高点で速度0,最高点までに上昇するので、等加速度運動の公式より、
[]の結果より、なので、E,Aを用いて、


......[]

1(i) []の結果より、,また、をDに代入して、
 ∴ ......[]
(ii) より、,よって、衝突回数nの上限は
最初に投げ上げたときの初速度の鉛直方向成分は,高さの地点とで等加速度運動の公式より、
 ∴
[]の結果で、として、
25......[]



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