京都大学2024年前期物理入試問題


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

[1] 次の文章を読んで、  に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じものを表す。また、問1,問2では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし、円周率をπ,重力加速度をとする。空気の抵抗は無視できるものとする。

(1) 1のように、質量が無視できる固い棒の下端に、質量がmで小さい球形のおもりを取り付けた振り子について考える。棒は上端の固定点Rを支点として、Rを含む鉛直面内を滑らかに回転する。固定点からおもりの重心(棒の下端)までの距離をL,円周に沿った最下点Oからのおもりの変位をx(右向きを正)、鉛直軸からの棒の回転角をθ(反時計回りを正、単位はラジアン)とする。は十分に小さく、とくにことわりのない限りと近似する。
おもりの円周方向の加速度をa(右向きを正)とするとき、おもりの円周方向の運動方程式はamLxを用いて
 ア 
と表せる。振り子は単振動し、その角振動数は イ である。
振動中のある時刻において、おもりの円周方向の速度
v(右向きを正)で、変位がであった。ここで、の近似を用いると、でのおもりの高さを位置エネルギーの基準としたときの力学的エネルギーは、mLを用いて ウ と表せる。 ウ の力学的エネルギーより、となったときのおもりの円周方向の速さは エ である。また、この単振動における変位xの振幅は オ である。

次に、図
2のように、図1の振り子のおもりに、質量が無視できるばねを水平に取り付けた。ばねは十分に長く、バネが傾くことによる、ばねの伸び、および復元力の大きさと方向への影響は無視できる。ばね定数はkとし、ばねは、棒の回転角がのとき自然長である。は十分に小さいため、ばねの伸びで近似する。
2の振り子と図1の振り子を図3のように並べて配置する。それぞれの振り子は固定点SRを支点として同一平面内を回転し、棒ABの回転角がともに0のとき、おもりAとおもりBがちょうど接するものとする。おもりABの最下点からの円周に沿った変位を(右向きを正)とする。また、おもりどうしの反発係数を1とする。
1 図3の位置からおもりBのみを右向きに持ち上げて静かに離し、時刻において左向きに速さでおもりAに衝突させた。の関係が成り立つとき、図4を解答欄に描き写して、2つのおもりが3回衝突するまでのおもりABの円周方向の変位と時刻tの関係を、それぞれ実線および点線で描け。グラフには、それぞれのおもりの変位の振幅とおもりが衝突する時刻を、kを用いずに示せ。それらの導出過程も記述せよ。


2の振り子において、図5のように、ばねの位置を固定点Sから距離dの位置に変更した。おもりの円周方向の変位がxのとき、ばねの伸びは カ である。
ここで、おもりにはたらく力を理解するため、振り子の運動中におもりと棒の間にはたらく力を考える。図
6のように、おもりから棒の下端に作用する力の円周方向成分をF(右向きを正)とする。ばねと棒の質量は無視できるため、棒にはたらく力の点Sまわりのモーメントのつりあいが、静止しているときと同様に成り立つ。したがって、FLdkxを用いて キ と表せる。図5のばね付き振り子において、棒からおもりには図6Fの反作用がはたらき、おもりの円周方向の運動方程式は次のように表すことができる。
 ア F
このばね付き振り子は単振動し、その角振動数は ク である。

(2) 7のように、図1の振り子2つをそれぞれ固定点RSで支持し、質量が無視できるばねを、固定点から距離dの位置に取り付けた。ばねは十分に長く、ばねが傾くことによる、ばねの伸び、および復元力の大きさと方向への影響は無視できる。ばね定数をkとし、ばねは、棒CDの回転角がともに0のとき自然長である。は十分に小さく、と近似する。
おもりCDの最下点からの円周に沿った変位を(右向きを正)とすると、ばねの伸び ケ と表せる。おもりCDの円周方向の加速度を(右向きを正)とすると、おもりCDの円周方向の運動方程式は、mLdkを用いて次式で表される。
 コ 
 サ 
2つの振り子が同じ角振動数ωで単振動する特別な状態を考えるとき、次式が成り立つ。
上式を運動方程式に代入し、
を用いると、2種類の角振動数 イ および シ が得られる。2つの振り子が同じ角振動数で単振動するとき、 ス ×であり、同じ角振動数で単振動するとき、 セ ×である。
2 一般には、図7のおもりCDの変位は、上記で考えた2種類の単振動の重ね合わせで表すことができる。ここではの関係が成り立つ場合を考える。で静止しているおもりCDに対して、時刻においておもりDのみに右向き初速度を与えたとき、ばねの伸びは、図8のように2倍の角振動数で周期的に増減を繰り返した。このとき、の値を求めよ。導出過程も示せ。
[解答へ]


[2] 次の文章を読んで、  に適した式または数値を、{  }からは適切なものを一つ選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じものを表す。また、問1〜問3では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし、円周率をπとする。

真空中の時間変化しない磁場内での荷電粒子の運動を考えよう。荷電粒子の運動によって生じる電場と磁場の影響、および重力の影響は無視してよい。


(1) 1のように、y軸上に置かれた十分に長い直線状の導線に、y軸の正の向きに強さIの定常電流が流れている場合を考える。真空の透磁率をμとすると、この電流が作る磁束密度の大きさは、y軸から距離r離れた点で イ となる。xy平面上のの領域に、正方形の1巻きコイルを置く。図1に示すように、各辺はx軸あるいはy軸に平行である。ただし、コイルの自己インダクタンスは無視できるものとする。コイルがy軸の正の向きに一定の速さで動くとき、誘導電流は{ロ:@図の1の向きに流れる A図の2の向きに流れる B流れない}。また、コイルがx軸の正の向きに一定の速さで動くとき、誘導電流は{ハ:@図の1の向きに流れる A図の2の向きに流れる B流れない}


(2) 次に、非一様な磁場中での荷電粒子の運動を考えよう。荷電粒子の大きさは無視でき、その質量はm,電荷はq()とする。簡単のため、図2に示すようなモデルで考える。磁場はz軸の負の向きにかかっており、その磁束密度の大きさは、ある()に対して、とする。ただしは正の定数で、である。また、粒子がで定められる平面を通過するとき、その軌道は滑らかにつながり、速さは変化しないものとする。
時刻にある荷電粒子が、x軸の正の向きに速さで運動をはじめた。荷電粒子はまず、の領域においてローレンツ力によりxy平面内で等速円運動する。での円軌道の半径は ニ となる。荷電粒子がではじめてに到達するまでにかかる時間は、mqのうち必要なものを用いて ホ と書ける。その後、粒子はにおいても等速円運動する。からふたたびに到達するまでの時間をとし、を運動の周期とする。

1 時刻から時刻までの荷電粒子のxy平面内での軌道を描き、時刻における位置を示せ。また、時刻での位置を始点とし、での位置を終点とするベクトルについて、その大きさを答えよ。このベクトルで表される移動をドリフトとよぶ。

1で考察したドリフトについて、その平均の速さを求めよう。磁束密度の大きさを正の定数aおよびd()を用いてと与える。運動の周期mqadのうち必要なものを用いて書くと ヘ となる。ドリフトの平均の速さは、ドリフトを表すベクトルの大きさを周期で割ることによって求められ、mqadのうち必要なものを用いて ト と書ける。一般に、一様でない磁場がある場合にこのようなドリフトが生じ、これは磁場勾配ドリフトとよばれる。

次に、図3のように、粒子が時刻にあり、xy平面内でx軸に対する角度がの方向に速さで運動をはじめる場合を考える。
2 から、2回目にに達するときまでの粒子の軌道として最も適当なものを図4の@〜Gのうちから選び、番号を答えよ。


(3) 次に、一様な磁場のもとで、ローレンツ力に加えて外力が荷電粒子にはたらく場合を考えよう。荷電粒子は質量m,電荷q()をもち、大きさは無視できるとする。図5のように、z軸の負の向きの一様な磁場があり、磁束密度の大きさを正の定数とする。さらに、粒子にはx軸の正の向きに大きさFの一様な保存力である外力が作用する。磁場および外力はいずれも時間変動しない。
このとき、荷電粒子はx軸方向には一定の範囲で周期的に振動する。運動中のある時刻で粒子が、xが最小値となる位置にあり速さをもっていたとすると、xが最大値となる位置まで移動したときの速さは、この間に外力がした仕事が正であるためより大きくなる。その後にもどったとき、粒子の速さはに比べて{チ:@大きくなる A小さくなる B変化しない}

ローレンツ力に対して外力が十分に弱いとき、荷電粒子の運動の等速円運動からのずれはわずかである。以下では、図
6のように、(2)と同様にの領域との領域に分け、この粒子の運動を、xy平面内のそれぞれの領域で、異なる速さで等速円運動するモデルで考察する
荷電粒子は磁場によるローレンツ力をうけ、で速さで速さの等速円運動を行うこととする。ここで、である。外力によりの差が生じ、それ以外には外力による運動への影響はないと仮定する。また、で粒子の軌道は滑らかにつながるとする。ただし、解答におよびは用いないこと。
時刻にある荷電粒子がx軸の正の向きに速さで等速円運動をはじめた。における等速円運動の円の半径は リ となり、時刻2回目にに達するまでの時間T ヌ となる。時刻での粒子の位置を始点、での位置を終点とするベクトルがこの場合のドリフトを表す。このベクトルの向きから、z軸の負の向きの磁場およびx軸の正の向きの外力によって{ル:@x軸の正 Ay軸の正 Bx軸の負 Cy軸の負}の向きにドリフトを生じることがわかる。このドリフトの平均の速さは、そのベクトルの大きさを周期Tで割り、Tを用いずに ヲ と求められる。このモデルでは、の各領域における円運動の半径をそれぞれとすると、粒子がx軸方向にの間を移動する。の違いによる運動エネルギーの差がに等しいとすると、 ヲ は、mqFのうち必要なものを用いて ワ と表すことができる。

3 一様な外力が強さEの電場による力の場合、として、 ワ のドリフトの平均の速さを求めよ。また、時刻からまでの荷電粒子のxy平面内での軌道を描け。さらに、同じグラフに電荷がの場合の軌道を2周期分描け。ただし、どちらもにおいて上の条件で運動をはじめるものとする。それぞれの軌道に電荷の値を明記し、始点と終点の違いがわかるように描くこと。

ここでは簡単なモデルによって考察したが、正確なドリフトの速さは ワ の定数倍であり、このような簡単なモデルでも、ドリフトの特性を得ることができる。
[解答へ]


[3] 次の文章を読んで、  に適した式または数値を、{  }からは適切なものを一つ選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じものを表す。また、問1では、指示にしたがって、解答を解答欄に記入せよ。ただし、円周率をπとする。

物質中を光が進むときのふるまいを考え、それを応用した光ファイバーなどについて考察しよう。以下では空気の屈折率を
1とする。

(1) 1のように屈折率がの物質Aと屈折率がの物質Bが平らな面で接しており、とする。AからBへ光が入射したとき、境界面の法線に対する角度として、入射角,反射角,屈折角を定める。 あ であり、の関係は い となる。がある値より大きいとき、光は境界面で全反射される。の関係は う である。

(2) 光ファイバーは、図2(a)のように屈折率の異なるガラスを同軸状の細線にしたものである。中心部分をコア、外側部分をクラッドとよぶ。コアとクラッドの屈折率をそれぞれ()()とする。また、コアの軸を含む平面内を進む光を考える。
屈折率の関係が{え:@,A,B}で、さらにコア内で光の進む方向と光ファイバーの軸方向のなす角度θがある角度より小さければ、図2(b)のように光はコアとクラッドの境界で全反射される。(1)での議論をふまえると、およびの関係は お となる。このように光がコアとクラッドの境界面で全反射されるためには、光ファイバーの端面において空気中からコアに光が入射する際に、軸方向に対する光の入射角がある条件を満たす必要がある。その条件を、を用いて表すと、 か となる。ただし、光ファイバーの端面はその軸方向に対して垂直であるとし、端面においてコアの軸上から入射する光を考えよ。

(3) 入射した光が光ファイバー中を進むためには、(2)の条件だけでは不十分である。それを考察しよう。
コアの軸を含む平面内を進む光を考える。図3のように、コア中の光の波長をとし、光の進行方向とコアの軸方向のなす角度をθとする。このとき、径方向の波面間の距離をとすると、 き となっている。したがって、径方向には波長がの波が生じているとみなせる。
半径のコア内で光が弱まらずに進んでいくとき、径方向には定在波が形成されている。ここでは、議論を簡単にするため、自然数
Nに対し、コアの直径が倍であればそのような定在波が形成されるとする。このとき、Nを用いて、 く と表せる。
実際に光ファイバーを使う際には、空気中での波長がの光をレンズ等で集光してコアに入射させるため、光はさまざまなで入射し、入射直後の
θは連続的な値を持ち得る。そのうち く を満たすとびとびの値のθを持つ光だけがコア内を進むことができる。Nで特徴づけられるこの光をモードとよぶ。一方、あるNのモードについて、がある値より大きいとき、このモードはコアとクラッドの境界で全反射できず伝わらなくなる。Nを用いて表すと、 け となる。ここで、の関係を用いよ。を満たすとき、コア内を伝わる光はのモードのみとなる。下限はカットオフ波長とよばれ、を用いて こ と表せる。

(4) 以下でも、のモードだけが伝わる場合を考える。コア内の波長がの光は、図4のような波の合成の結果、軸方向と垂直な波面をもつ波とみなせる。
5のように、光ファイバーのコアに、光を散乱する構造を周期的に軸方向に導入したものを考える。これをファイバー・ブラッグ・グレーティング(FBG)という。この構造の周期をaとすると、FBGは間隔aの回折格子のようにはたらく。すなわち、入射した光のごく一部が散乱されて入射側へと返っていくが、たがいにa離れた位置からの散乱光が強め合うとき強い光が返っていき、図5の検出器で検出することができる。軸方向に返っていく光が強め合う条件から、検出できる光の最も長い波長は、aを用いて さ と表すことができる。検出器が検出するのは空気中の波長であることに注意せよ。以下では強め合って返っていく光のうち波長が さ の光を考え、これを反射光と呼ぶ。

(5) FBGを含む光ファイバーの一部分を考える。これが長さDの状態からDとくらべて十分に小さい量だけ一様に伸縮し、長さがになると、FBGの周期もaからに変化する。この場合、Daの関係は し である。また、この周期の変化により、FBGからの反射光の波長もからに変化する。光の波長は高感度に計測できるため、FBGは微小な伸縮を検出するセンサーとして利用できる。ここで、Aを定数として、とおく。Aは伸縮にともなうFBG内のコアの屈折率の微小な変化の影響などを含んだ係数である。
Aを決定するため、の光ファイバーに波長が付近の連続スペクトルの光を導入し、FBGを含む部分の長さをから変化させながら、FBGからの反射光の強度と波長の関係を空気中で測定した。すると、図6の結果が得られた。この結果から係数Aは有効数字1桁で す と求めることができる。
FBGの応用例の一つに、熱膨張測定がある。固体物質の長さをL,絶対温度をTとすると、多くの物質は室温付近においてという関係を示す。係数αは線膨張率、は室温に近い基準温度、での長さである。
上述の
FBGを、長さの固体物質Xの試料に図7(a)のように貼り付けた。Xは一様に熱膨張し、光ファイバーはXの熱膨張に完全に追随して伸縮すると仮定する。また、温度変化によるの変化は微小である。FBGに空気中での波長が付近の連続スペクトルの光を導入すると、基準温度においての光が反射され、温度を変えながら反射光の空気中での波長の変化を測定した結果、図7(b)が得られた。表1Xの候補物質とそれらの線膨張率である。

1 実験結果とAの値を用い、Xが表1のどの物質かを推定せよ。議論の過程も示せ。
 物質名 線膨張率
白金 8.8
18.9
亜鉛30.2

[解答へ]



【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

  京大物理TOP  物理TOP  TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

各問題の著作権は
出題大学に属します。

©2005-2024
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメール
お送りください。