京都大学2024年前期物理入試問題

京都大学2024年前期物理入試問題

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[1]　次の文章を読んで、　　に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、　　はすでに　　で与えられたものと同じものを表す。また、問1，問2では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし、円周率をπ，重力加速度を

とする。空気の抵抗は無視できるものとする。

(1) 図1のように、質量が無視できる固い棒の下端に、質量がmで小さい球形のおもりを取り付けた振り子について考える。棒は上端の固定点Rを支点として、Rを含む鉛直面内を滑らかに回転する。固定点からおもりの重心(棒の下端)までの距離をL，円周に沿った最下点Oからのおもりの変位をx(右向きを正)、鉛直軸からの棒の回転角をθ(反時計回りを正、単位はラジアン)とする。

は十分に小さく、とくにことわりのない限り

，

と近似する。

おもりの円周方向の加速度をa(右向きを正)とするとき、おもりの円周方向の運動方程式はa，m，L，

，xを用いて

　ア　

と表せる。振り子は単振動し、その角振動数は　イ　である。
振動中のある時刻において、おもりの円周方向の速度v(右向きを正)が

で、変位が

であった。ここで、

の近似を用いると、

でのおもりの高さを位置エネルギーの基準としたときの力学的エネルギーは、m，L，

，

を用いて　ウ　と表せる。　ウ　の力学的エネルギーより、

となったときのおもりの円周方向の速さは　エ　である。また、この単振動における変位xの振幅は　オ　である。

次に、図2のように、図1の振り子のおもりに、質量が無視できるばねを水平に取り付けた。ばねは十分に長く、バネが傾くことによる、ばねの伸び、および復元力の大きさと方向への影響は無視できる。ばね定数はkとし、ばねは、棒の回転角が

のとき自然長である。

は十分に小さいため、ばねの伸び

は

で近似する。

図2の振り子と図1の振り子を図3のように並べて配置する。それぞれの振り子は固定点S，Rを支点として同一平面内を回転し、棒A，Bの回転角がともに0のとき、おもりAとおもりBがちょうど接するものとする。おもりA，Bの最下点からの円周に沿った変位を

，

(右向きを正)とする。また、おもりどうしの反発係数を1とする。

問1　図3の位置からおもりBのみを右向きに持ち上げて静かに離し、時刻

において左向きに速さ

でおもりAに衝突させた。

の関係が成り立つとき、図4を解答欄に描き写して、2つのおもりが

で3回衝突するまでのおもりA，Bの円周方向の変位

，

と時刻tの関係を、それぞれ実線および点線で描け。グラフには、それぞれのおもりの変位の振幅とおもりが衝突する時刻を、kを用いずに示せ。それらの導出過程も記述せよ。

図2の振り子において、図5のように、ばねの位置を固定点Sから距離dの位置に変更した。おもりの円周方向の変位がxのとき、ばねの伸びは　カ　である。
ここで、おもりにはたらく力を理解するため、振り子の運動中におもりと棒の間にはたらく力を考える。図6のように、おもりから棒の下端に作用する力の円周方向成分をF(右向きを正)とする。ばねと棒の質量は無視できるため、棒にはたらく力の点Sまわりのモーメントのつりあいが、静止しているときと同様に成り立つ。したがって、FはL，d，k，xを用いて

　キ　と表せる。図5のばね付き振り子において、棒からおもりには図6のFの反作用がはたらき、おもりの円周方向の運動方程式は次のように表すことができる。

　ア　－F

このばね付き振り子は単振動し、その角振動数は　ク　である。

(2) 図7のように、図1の振り子2つをそれぞれ固定点R，Sで支持し、質量が無視できるばねを、固定点から距離dの位置に取り付けた。ばねは十分に長く、ばねが傾くことによる、ばねの伸び、および復元力の大きさと方向への影響は無視できる。ばね定数をkとし、ばねは、棒C，Dの回転角

，

がともに0のとき自然長である。

，

は十分に小さく、

，

と近似する。

おもりC，Dの最下点からの円周に沿った変位を

，

(右向きを正)とすると、ばねの伸び

は　ケ　と表せる。おもりC，Dの円周方向の加速度を

，

(右向きを正)とすると、おもりC，Dの円周方向の運動方程式は、

，

，m，L，

，d，k，

，

を用いて次式で表される。

　コ　

　サ　

2つの振り子が同じ角振動数ωで単振動する特別な状態を考えるとき、次式が成り立つ。

，

上式を運動方程式に代入し、

，

を用いると、2種類の角振動数

　イ　および

　シ　が得られる。2つの振り子が同じ角振動数

で単振動するとき、

　ス　×

であり、同じ角振動数

で単振動するとき、

　セ　×

である。

問2　一般には、図7のおもりC，Dの変位

，

は、上記で考えた2種類の単振動の重ね合わせで表すことができる。ここでは

の関係が成り立つ場合を考える。

で静止しているおもりC，Dに対して、時刻

においておもりDのみに右向き初速度

を与えたとき、ばねの伸び

は、図8のように

の2倍の角振動数で周期的に増減を繰り返した。このとき、

の値を求めよ。導出過程も示せ。
[解答へ]

[2]　次の文章を読んで、　　に適した式または数値を、{　　}からは適切なものを一つ選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、　　はすでに　　で与えられたものと同じものを表す。また、問1～問3では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし、円周率をπとする。

真空中の時間変化しない磁場内での荷電粒子の運動を考えよう。荷電粒子の運動によって生じる電場と磁場の影響、および重力の影響は無視してよい。

(1) 図1のように、y軸上に置かれた十分に長い直線状の導線に、y軸の正の向きに強さIの定常電流が流れている場合を考える。真空の透磁率をμとすると、この電流が作る磁束密度の大きさは、y軸から距離r離れた点で　イ　となる。xy平面上の

，

の領域に、正方形の1巻きコイルを置く。図1に示すように、各辺はx軸あるいはy軸に平行である。ただし、コイルの自己インダクタンスは無視できるものとする。コイルがy軸の正の向きに一定の速さで動くとき、誘導電流は{ロ：①図の1の向きに流れる　②図の2の向きに流れる　③流れない}。また、コイルがx軸の正の向きに一定の速さで動くとき、誘導電流は{ハ：①図の1の向きに流れる　②図の2の向きに流れる　③流れない}。

(2) 次に、非一様な磁場中での荷電粒子の運動を考えよう。荷電粒子の大きさは無視でき、その質量はm，電荷はq(

)とする。簡単のため、図2に示すようなモデルで考える。磁場はz軸の負の向きにかかっており、その磁束密度の大きさは、ある

(

)に対して、

で

，

で

とする。ただし

と

は正の定数で、

である。また、粒子が

で定められる平面を通過するとき、その軌道は滑らかにつながり、速さは変化しないものとする。

時刻

で

，

にある荷電粒子が、x軸の正の向きに速さ

で運動をはじめた。荷電粒子はまず、

の領域においてローレンツ力によりxy平面内で等速円運動する。

での円軌道の半径は　ニ　となる。荷電粒子が

ではじめて

に到達するまでにかかる時間

は、m，

，q，

，

のうち必要なものを用いて　ホ　と書ける。その後、粒子は

においても等速円運動する。

からふたたび

に到達するまでの時間を

とし、

を運動の周期とする。

問1　時刻

から時刻

までの荷電粒子のxy平面内での軌道を描き、時刻

，

における位置を示せ。また、時刻

での位置を始点とし、

での位置を終点とするベクトルについて、その大きさを答えよ。このベクトルで表される移動をドリフトとよぶ。

問1で考察したドリフトについて、その平均の速さを求めよう。磁束密度の大きさを正の定数aおよびd(

)を用いて

，

と与える。運動の周期

をm，

，q，a，d，

のうち必要なものを用いて書くと　ヘ　となる。ドリフトの平均の速さは、ドリフトを表すベクトルの大きさを周期で割ることによって求められ、m，

，q，a，d，

のうち必要なものを用いて　ト　と書ける。一般に、一様でない磁場がある場合にこのようなドリフトが生じ、これは磁場勾配ドリフトとよばれる。

次に、図3のように、粒子が時刻

で

，

にあり、xy平面内でx軸に対する角度が

の方向に速さ

で運動をはじめる場合を考える。

問2　

から、

で2回目に

に達するときまでの粒子の軌道として最も適当なものを図4の①～⑧のうちから選び、番号を答えよ。

(3) 次に、一様な磁場のもとで、ローレンツ力に加えて外力が荷電粒子にはたらく場合を考えよう。荷電粒子は質量m，電荷q(

)をもち、大きさは無視できるとする。図5のように、z軸の負の向きの一様な磁場があり、磁束密度の大きさを正の定数

とする。さらに、粒子にはx軸の正の向きに大きさFの一様な保存力である外力が作用する。磁場および外力はいずれも時間変動しない。

このとき、荷電粒子はx軸方向には一定の範囲で周期的に振動する。運動中のある時刻で粒子が、xが最小値

となる位置にあり速さ

をもっていたとすると、xが最大値

となる位置まで移動したときの速さ

は、この間に外力がした仕事

が正であるため

より大きくなる。その後

にもどったとき、粒子の速さは

に比べて{チ：①大きくなる　②小さくなる　③変化しない}。

ローレンツ力に対して外力が十分に弱いとき、荷電粒子の運動の等速円運動からのずれはわずかである。以下では、図6のように、(2)と同様に

の領域と

の領域に分け、この粒子の運動を、xy平面内のそれぞれの領域で、異なる速さで等速円運動するモデルで考察する。
荷電粒子は磁場によるローレンツ力をうけ、

で速さ

，

で速さ

の等速円運動を行うとする。ここで、

である。外力により

と

の差が生じ、それ以外には外力による運動への影響はないと仮定する。また、

で粒子の軌道は滑らかにつながるとする。ただし、解答に

および

は用いないこと。
時刻

で

，

にある荷電粒子がx軸の正の向きに速さ

で等速円運動をはじめた。

における等速円運動の円の半径は　リ　となり、時刻

で2回目に

に達するまでの時間Tは　ヌ　となる。時刻

での粒子の位置を始点、

での位置を終点とするベクトルがこの場合のドリフトを表す。このベクトルの向きから、z軸の負の向きの磁場およびx軸の正の向きの外力によって{ル：①x軸の正　②y軸の正　③x軸の負　④y軸の負}の向きにドリフトを生じることがわかる。このドリフトの平均の速さは、そのベクトルの大きさを周期Tで割り、Tを用いずに　ヲ　と求められる。このモデルでは、

と

の各領域における円運動の半径をそれぞれ

，

とすると、粒子がx軸方向に

と

の間を移動する。

と

の違いによる運動エネルギーの差が

に等しいとすると、　ヲ　は、m，q，F，

，

のうち必要なものを用いて　ワ　と表すことができる。

問3　一様な外力が強さEの電場による力の場合、

として、　ワ　のドリフトの平均の速さを求めよ。また、時刻

から

までの荷電粒子のxy平面内での軌道を描け。さらに、同じグラフに電荷が

の場合の軌道を2周期分描け。ただし、どちらも

において上の条件で運動をはじめるものとする。それぞれの軌道に電荷の値を明記し、始点と終点の違いがわかるように描くこと。

ここでは簡単なモデルによって考察したが、正確なドリフトの速さは　ワ　の定数倍であり、このような簡単なモデルでも、ドリフトの特性を得ることができる。

[解答へ]

[3]　次の文章を読んで、　　に適した式または数値を、{　　}からは適切なものを一つ選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、　　はすでに　　で与えられたものと同じものを表す。また、問1では、指示にしたがって、解答を解答欄に記入せよ。ただし、円周率をπとする。

物質中を光が進むときのふるまいを考え、それを応用した光ファイバーなどについて考察しよう。以下では空気の屈折率を1とする。

(1) 図1のように屈折率が

の物質Aと屈折率が

の物質Bが平らな面で接しており、

とする。AからBへ光が入射したとき、境界面の法線に対する角度として、入射角

，反射角

，屈折角

を定める。

　あ　であり、

，

の関係は

　い　となる。

がある値

より大きいとき、光は境界面で全反射される。

と

，

の関係は

　う　である。

(2) 光ファイバーは、図2(a)のように屈折率の異なるガラスを同軸状の細線にしたものである。中心部分をコア、外側部分をクラッドとよぶ。コアとクラッドの屈折率をそれぞれ

(

)，

(

)とする。また、コアの軸を含む平面内を進む光を考える。

屈折率の関係が{え：①

，②

，③

}で、さらにコア内で光の進む方向と光ファイバーの軸方向のなす角度θがある角度

より小さければ、図2(b)のように光はコアとクラッドの境界で全反射される。(1)での議論をふまえると、

と

および

の関係は

　お　となる。このように光がコアとクラッドの境界面で全反射されるためには、光ファイバーの端面において空気中からコアに光が入射する際に、軸方向に対する光の入射角

がある条件を満たす必要がある。その条件を、

，

を用いて表すと、　か　

となる。ただし、光ファイバーの端面はその軸方向に対して垂直であるとし、端面においてコアの軸上から入射する光を考えよ。

(3) 入射した光が光ファイバー中を進むためには、(2)の条件だけでは不十分である。それを考察しよう。

コアの軸を含む平面内を進む光を考える。図3のように、コア中の光の波長を

とし、光の進行方向とコアの軸方向のなす角度をθとする。このとき、径方向の波面間の距離を

とすると、

　き　となっている。したがって、径方向には波長が

の波が生じているとみなせる。
半径

のコア内で光が弱まらずに進んでいくとき、径方向には定在波が形成されている。ここでは、議論を簡単にするため、自然数Nに対し、コアの直径が

の

倍であればそのような定在波が形成されるとする。このとき、

，

，Nを用いて、

　く　と表せる。
実際に光ファイバーを使う際には、空気中での波長が

の光をレンズ等で集光してコアに入射させるため、光はさまざまな

で入射し、入射直後のθは連続的な値を持ち得る。そのうち

　く　を満たすとびとびの値のθを持つ光だけがコア内を進むことができる。Nで特徴づけられるこの光をモードとよぶ。一方、あるNのモードについて、

がある値

より大きいとき、このモードはコアとクラッドの境界で全反射できず伝わらなくなる。

を

，

，N，

を用いて表すと、

　け　となる。ここで、

の関係を用いよ。

が

を満たすとき、コア内を伝わる光は

のモードのみとなる。下限

はカットオフ波長とよばれ、

，

を用いて　こ　と表せる。

(4) 以下では、

のモードだけが伝わる場合を考える。コア内の波長が

の光は、図4のような波の合成の結果、軸方向と垂直な波面をもつ波とみなせる。また、θが小さい場合を考え、合成された光の波長は

に等しいとする。

図5のように、光ファイバーのコアに、光を散乱する構造を周期的に軸方向に導入したものを考える。これをファイバー・ブラッグ・グレーティング(FBG)という。この構造の周期をaとすると、FBGは間隔aの回折格子のようにはたらく。すなわち、入射した光のごく一部が散乱されて入射側へと返っていくが、たがいにa離れた位置からの散乱光が強め合うとき強い光が返っていき、図5の検出器で検出することができる。軸方向に返っていく光が強め合う条件から、検出できる光の最も長い波長は、a，