京大物理'24年前期[1]

京大物理'24年前期[1]

次の文章を読んで、　　に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、　　はすでに　　で与えられたものと同じものを表す。また、問1，問2では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし、円周率をπ，重力加速度を

とする。空気の抵抗は無視できるものとする。

(1) 図1のように、質量が無視できる固い棒の下端に、質量がmで小さい球形のおもりを取り付けた振り子について考える。棒は上端の固定点Rを支点として、Rを含む鉛直面内を滑らかに回転する。固定点からおもりの重心(棒の下端)までの距離をL，円周に沿った最下点Oからのおもりの変位をx(右向きを正)、鉛直軸からの棒の回転角をθ(反時計回りを正、単位はラジアン)とする。

は十分に小さく、とくにことわりのない限り

，

と近似する。

おもりの円周方向の加速度をa(右向きを正)とするとき、おもりの円周方向の運動方程式はa，m，L，

，xを用いて

　ア　

と表せる。振り子は単振動し、その角振動数は　イ　である。
振動中のある時刻において、おもりの円周方向の速度v(右向きを正)が

で、変位が

であった。ここで、

の近似を用いると、

でのおもりの高さを位置エネルギーの基準としたときの力学的エネルギーは、m，L，

，

を用いて　ウ　と表せる。　ウ　の力学的エネルギーより、

となったときのおもりの円周方向の速さは　エ　である。また、この単振動における変位xの振幅は　オ　である。

次に、図2のように、図1の振り子のおもりに、質量が無視できるばねを水平に取り付けた。ばねは十分に長く、バネが傾くことによる、ばねの伸び、および復元力の大きさと方向への影響は無視できる。ばね定数はkとし、ばねは、棒の回転角が

のとき自然長である。

は十分に小さいため、ばねの伸び

は

で近似する。

図2の振り子と図1の振り子を図3のように並べて配置する。それぞれの振り子は固定点S，Rを支点として同一平面内を回転し、棒A，Bの回転角がともに0のとき、おもりAとおもりBがちょうど接するものとする。おもりA，Bの最下点からの円周に沿った変位を

，

(右向きを正)とする。また、おもりどうしの反発係数を1とする。

問1　図3の位置からおもりBのみを右向きに持ち上げて静かに離し、時刻

において左向きに速さ

でおもりAに衝突させた。

の関係が成り立つとき、図4を解答欄に描き写して、2つのおもりが

で3回衝突するまでのおもりA，Bの円周方向の変位

，

と時刻tの関係を、それぞれ実線および点線で描け。グラフには、それぞれのおもりの変位の振幅とおもりが衝突する時刻を、kを用いずに示せ。それらの導出過程も記述せよ。

図2の振り子において、図5のように、ばねの位置を固定点Sから距離dの位置に変更した。おもりの円周方向の変位がxのとき、ばねの伸びは　カ　である。
ここで、おもりにはたらく力を理解するため、振り子の運動中におもりと棒の間にはたらく力を考える。図6のように、おもりから棒の下端に作用する力の円周方向成分をF(右向きを正)とする。ばねと棒の質量は無視できるため、棒にはたらく力の点Sまわりのモーメントのつりあいが、静止しているときと同様に成り立つ。したがって、FはL，d，k，xを用いて

　キ　と表せる。図5のばね付き振り子において、棒からおもりには図6のFの反作用がはたらき、おもりの円周方向の運動方程式は次のように表すことができる。

　ア　－F

このばね付き振り子は単振動し、その角振動数は　ク　である。

(2) 図7のように、図1の振り子2つをそれぞれ固定点R，Sで支持し、質量が無視できるばねを、固定点から距離dの位置に取り付けた。ばねは十分に長く、ばねが傾くことによる、ばねの伸び、および復元力の大きさと方向への影響は無視できる。ばね定数をkとし、ばねは、棒C，Dの回転角

，

がともに0のとき自然長である。

，

は十分に小さく、

，

と近似する。

おもりC，Dの最下点からの円周に沿った変位を

，

(右向きを正)とすると、ばねの伸び

は　ケ　と表せる。おもりC，Dの円周方向の加速度を

，

(右向きを正)とすると、おもりC，Dの円周方向の運動方程式は、

，

，m，L，

，d，k，

，

を用いて次式で表される。

　コ　

　サ　

2つの振り子が同じ角振動数ωで単振動する特別な状態を考えるとき、次式が成り立つ。

，

上式を運動方程式に代入し、

，

を用いると、2種類の角振動数

　イ　および

　シ　が得られる。2つの振り子が同じ角振動数

で単振動するとき、

　ス　×

であり、同じ角振動数

で単振動するとき、

　セ　×

である。

問2　一般には、図7のおもりC，Dの変位

，

は、上記で考えた2種類の単振動の重ね合わせで表すことができる。ここでは

の関係が成り立つ場合を考える。

で静止しているおもりC，Dに対して、時刻

においておもりDのみに右向き初速度

を与えたとき、ばねの伸び

は、図8のように

の2倍の角振動数で周期的に増減を繰り返した。このとき、

の値を求めよ。導出過程も示せ。

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解答　[ク]までは平凡ですが、終盤が難問です。[コ][サ]は、[カ][キ]がばねの影響をどう扱うかというヒントになっている出題意図をしっかりつかんで考える必要があります。

(1) おもりにはたらく重力の円周方向成分は右向き正なので、

です。

より、

，よって、おもりの円周方向の加速度をaとして、おもりの円周方向の運動方程式は、

......[ア]

よって、

，単振動の公式：

より、角振動数ωは、

......[イ]

右図より、変位が

のとき、おもりは

のときから

だけ高い位置にあり、おもりの位置エネルギーは、

より、

，おもりの速度が

なので、おもりの力学的エネルギーは、

......[ウ]

になったとき、おもりの位置エネルギーは0で、このときのおもりの円周方向の速さを

として、力学的エネルギー保存より、

∴

......[エ]

はこの単振動における最大速度です。単振動の公式：

より、この単振動の振幅Aは、

......[オ]

問1　A，Bのおもりの質量が等しいので、反発係数1の衝突(完全弾性衝突)において、AとBは速度を交換します(衝突・合体・分裂の問題を参照)。時刻

の衝突直後、おもりAは速さ

で左向きに動き、おもりBは静止します。

おもりAに働く力は、ばねの弾性力

と、おもりAに働く重力の円周方向成分が[ア]と同様にして

です。おもりAの運動方程式は加速度を

として、

　∴

おもりAの角振動数

は、

，振幅

は

，おもりAは半周期後、

に最下点

に戻ってきます。ここで、おもりAは静止していたおもりBと、

における1回目の衝突を行い速度を交換し、衝突直後、おもりAは静止し(ばねの弾性力は0)、おもりBは速さ

で右向きに動きます。
おもりBに働く力は、重力の円周方向成分

で、おもりBの運動方程式は加速度を

として、

　∴

おもりBの角振動数

は、

，振幅

は

，おもりBは半周期後、

に最下点

に戻ってきます。ここで、おもりBは静止していたおもりAと

における2回目の衝突を行い速度を交換し、衝突直後、おもりAは速さ

で左向きに動き、おもりBは静止します。おもりAは、

における単振動と同じ単振動をして半周期後、

に最下点

に戻り静止しているおもりBと、

における3回目の衝突をします。よって、ここまでの、おもりA，おもりBの円周方向の変位

(右図実線)，

(右図点線)と時刻tの関係は右図のようになります。

図5において、

より、ばねの伸びは、

......[カ]
ばねが棒を水平方向左向きに引く力の大きさは

，この力のS点のまわりの力のモーメントは、うでの長さが

となるので、時計回りに

，力Fのモーメントは、うでの長さがLで、反時計回りに

，S点のまわりの力のモーメントのつり合いより、

　∴

......[キ]

おもりが棒に及ぼす力Fの反作用

が、棒がおもりに及ぼす力になることに注意して、おもりの運動方程式は、加速度をaとして、[ア]の結果を用いて、

　･･･①

∴

角振動数ωは、

......[ク]

(2) 図7を見ていると、[カ]と同様にして、ばねの高さで、棒Dのばねとの接続点は、右に

変位し、棒Cとばねとの接続点は、右に

変位しているので、ばねの伸び

は、

......[ケ]

よって、[キ]のFは、ここでは、

→

として、

と考えます。
①と同様に考えると、おもりDが受ける力は、重力の円周方向成分

と、棒DがおもりDに及ぼす力

です、おもりDの運動方程式は、加速度を

として、

　･･･①

①と同様に考えて、棒CがおもりCに及ぼす力は、ばねが棒Cに及ぼす力と同じ向きになることに注意して、おもりCが受ける力は、棒CがおもりCに及ぼす力

と、重力の円周方向成分

で、おもりCの運動方程式は、加速度を

として、

　･･･②

......[コ]，

......[サ]
①＋②より(相対運動を参照)、

　∴

よって、

は角振動数

の単振動をします。
①－②より、

　∴

よって、

は角振動数

の単振動をします。　

......[シ]

注．上記では問題文の指示通りに解答していません。上記によると、問2の問題文に書かれている通り、

，

は、

の単振動と

の単振動を重ね合わせた運動をします。

の単振動の振幅を

，初期位相を

，

の単振動の振幅を

，初期位相を

として、

のようになります。
問題文の指示通りに、

，

を①，②に代入すると、

　･･･③

　･･･④

について、①＋②より、

　∴

(

)

について、①－②より、

　∴

(

)

となりますが、これを「2種類の角振動数」と言っていると思われます。

，

がともに角振動数

で単振動する(上記注で

，

です)とき、

，

　1 ......[ス]

，

がともに角振動数

で単振動する(上記注で，

，

です)とき、

，

......[セ]

問2　[ケ]より、

は、角振動数

の単振動をします。これが、

の2倍の角振動数になるので、[シ]と[イ]の結果を用いて、

より、

，

　∴

......[答]

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