京大物理'24年前期[2]
次の文章を読んで、 に適した式または数値を、{ }からは適切なものを一つ選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、 はすでに で与えられたものと同じものを表す。また、問1〜問3では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし、円周率をπとする。
真空中の時間変化しない磁場内での荷電粒子の運動を考えよう。荷電粒子の運動によって生じる電場と磁場の影響、および重力の影響は無視してよい。
(1) 図1のように、y軸上に置かれた十分に長い直線状の導線に、y軸の正の向きに強さIの定常電流が流れている場合を考える。真空の透磁率をμとすると、この電流が作る磁束密度の大きさは、y軸から距離r離れた点で イ となる。xy平面上の
,
の領域に、正方形の1巻きコイルを置く。図1に示すように、各辺はx軸あるいはy軸に平行である。ただし、コイルの自己インダクタンスは無視できるものとする。コイルがy軸の正の向きに一定の速さで動くとき、誘導電流は{ロ:@図の1の向きに流れる A図の2の向きに流れる B流れない}。また、コイルがx軸の正の向きに一定の速さで動くとき、誘導電流は{ハ:@図の1の向きに流れる A図の2の向きに流れる B流れない}。
(2) 次に、非一様な磁場中での荷電粒子の運動を考えよう。荷電粒子の大きさは無視でき、その質量はm,電荷はq(
)とする。簡単のため、図2に示すようなモデルで考える。磁場はz軸の負の向きにかかっており、その磁束密度の大きさは、ある
(
)に対して、
で
,
で
とする。ただし
と
は正の定数で、
である。また、粒子が
で定められる平面を通過するとき、その軌道は滑らかにつながり、速さは変化しないものとする。時刻
で
,
,
にある荷電粒子が、x軸の正の向きに速さ
で運動をはじめた。荷電粒子はまず、
の領域においてローレンツ力によりxy平面内で等速円運動する。
での円軌道の半径は ニ となる。荷電粒子が
ではじめて
に到達するまでにかかる時間
は、m,
,q,
,
のうち必要なものを用いて ホ と書ける。その後、粒子は
においても等速円運動する。
からふたたび
に到達するまでの時間を
とし、
を運動の周期とする。
問1 時刻
から時刻
までの荷電粒子のxy平面内での軌道を描き、時刻
,
,
における位置を示せ。また、時刻
での位置を始点とし、
での位置を終点とするベクトルについて、その大きさを答えよ。このベクトルで表される移動をドリフトとよぶ。
問1で考察したドリフトについて、その平均の速さを求めよう。磁束密度の大きさを正の定数aおよびd(
)を用いて
,
と与える。運動の周期
をm,
,q,a,d,
のうち必要なものを用いて書くと ヘ となる。ドリフトの平均の速さは、ドリフトを表すベクトルの大きさを周期で割ることによって求められ、m,
,q,a,d,
のうち必要なものを用いて ト と書ける。一般に、一様でない磁場がある場合にこのようなドリフトが生じ、これは磁場勾配ドリフトとよばれる。
問2
から、
で2回目に
に達するときまでの粒子の軌道として最も適当なものを図4の@〜Gのうちから選び、番号を答えよ。
(3) 次に、一様な磁場のもとで、ローレンツ力に加えて外力が荷電粒子にはたらく場合を考えよう。荷電粒子は質量m,電荷q(
)をもち、大きさは無視できるとする。図5のように、z軸の負の向きの一様な磁場があり、磁束密度の大きさを正の定数
とする。さらに、粒子にはx軸の正の向きに大きさFの一様な保存力である外力が作用する。磁場および外力はいずれも時間変動しない。このとき、荷電粒子はx軸方向には一定の範囲で周期的に振動する。運動中のある時刻で粒子が、xが最小値
となる位置にあり速さ
をもっていたとすると、xが最大値
となる位置まで移動したときの速さ
は、この間に外力がした仕事
が正であるため
より大きくなる。その後
にもどったとき、粒子の速さは
に比べて{チ:@大きくなる A小さくなる B変化しない}。
ローレンツ力に対して外力が十分に弱いとき、荷電粒子の運動の等速円運動からのずれはわずかである。以下では、図6のように、(2)と同様に
の領域と
の領域に分け、この粒子の運動を、xy平面内のそれぞれの領域で、異なる速さで等速円運動するモデルで考察する。
荷電粒子は磁場によるローレンツ力をうけ、
で速さ
,
で速さ
の等速円運動を行うこととする。ここで、
である。外力により
と
の差が生じ、それ以外には外力による運動への影響はないと仮定する。また、
で粒子の軌道は滑らかにつながるとする。ただし、解答に
および
は用いないこと。
時刻
で
,
,
にある荷電粒子がx軸の正の向きに速さ
で等速円運動をはじめた。
における等速円運動の円の半径は リ となり、時刻
で2回目に
に達するまでの時間Tは ヌ となる。時刻
での粒子の位置を始点、
での位置を終点とするベクトルがこの場合のドリフトを表す。このベクトルの向きから、z軸の負の向きの磁場およびx軸の正の向きの外力によって{ル:@x軸の正 Ay軸の正 Bx軸の負 Cy軸の負}の向きにドリフトを生じることがわかる。このドリフトの平均の速さは、そのベクトルの大きさを周期Tで割り、Tを用いずに ヲ と求められる。このモデルでは、
と
の各領域における円運動の半径をそれぞれ
,
とすると、粒子がx軸方向に
と
の間を移動する。
と
の違いによる運動エネルギーの差が
に等しいとすると、 ヲ は、m,q,F,
,
のうち必要なものを用いて ワ と表すことができる。
問3 一様な外力が強さEの電場による力の場合、
として、 ワ のドリフトの平均の速さを求めよ。また、時刻
から
までの荷電粒子のxy平面内での軌道を描け。さらに、同じグラフに電荷が
の場合の軌道を2周期分描け。ただし、どちらも
において上の条件で運動をはじめるものとする。それぞれの軌道に電荷の値を明記し、始点と終点の違いがわかるように描くこと。
ここでは簡単なモデルによって考察したが、正確なドリフトの速さは ワ の定数倍であり、このような簡単なモデルでも、ドリフトの特性を得ることができる。
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解答 本問では、非一様な磁場中、また、外力が存在する一様な磁場中で荷電粒子の運動を考えるのですが、問題文が何をしたいのか傍線部を読んでもなかなかつかめません。ですが、誘導通りに進めば、解答すること自体は難しくありません。
(1) 直線電流Iが距離r離れた位置に作る磁場の大きさH(電流の作る磁界を参照)は、
,磁束密度の大きさBは、
......[イ]
磁場の向きは、
の部分でz軸負方向です。
コイルをy軸方向に動かしても、コイルを貫く磁束に変化はなく、コイルに起電力は生じません。よって、誘導電流は流れません。 B ......[ロ]コイルがx軸の正の向きに動くと、[イ]に見るように、磁束密度は次第に小さくなるので、コイルを貫く磁束が減少し、z軸負方向の磁束を増加させようとする向きに起電力が発生(レンツの法則を参照)し、誘導電流は図の1の向きに流れます。 @ ......[ハ]
(2) 磁束密度
の磁場中を速さ
で運動する荷電粒子qに働くローレンツ力は
です(向きは、速度ベクトルを正方向に
回転させた方向)。磁場中を半径
の等速円運動する荷電粒子の加速度は
で、荷電粒子の運動方程式は、
∴
......[ニ]荷電粒子が
ではじめて
に到達するまでにかかる時間
は、円の半周の長さ
を速さ
で通過する時間で、
......[ホ]同様にして、
の部分に入った以降の等速円運動の半径を
として、運動方程式は、
∴
・・・@
からふたたび
に到達するまでの時間
は[ホ]と同様に、![](kup24f2.files/Eqn128.gif)
運動の周期は、
・・・A
問1
に点
を出発した荷電粒子は、
において
の部分で半径
の等速円運動をし、
に点
([ニ]より
)に到達し、
において
の部分で半径
の等速円運動をして
に点
に到達します。荷電粒子の軌道は右図。時刻
での位置を始点とし、
での位置を終点とするベクトルの大きさは、[ニ]と@より、
......[答]
運動の周期は、Aより、
......[ヘ]これより、ドリフトの平均の速さは、
![](kup24f2.files/Eqn149.gif)
......[ト]
問2
に
を出発した荷電粒子は、
の領域をフレミング左手の法則より左上を向く力を受けて半径
の円運動を始め、やがて
に到達します。このとき、
よりも上方の点を左上向きに速さ
で通過し、
の領域を右下を向く力を受けて半径
の円運動を始め、やがて
に到達します。このような軌道は、B ......[答]
(3) 外力Fは保存力なので、
を出発したときの速さが
であれば、元の位置
に戻ったときの粒子の速さは
に戻ります。 B ......[チ]
に
,
,
にいた荷電粒子がx軸正の向きに速さ
で
において等速円運動を始めると、その半径を
として、運動方程式は、外力がローレンツ力に対して充分に弱いとして、(1)と同様に、
∴
......[リ]
で1回目に
に到達するまでの時間
は、半周の長さ
を速さ
で通過する時間で、
・・・B
以降、ここから
に入り、速さ
で半径
の等速円運動をするとして、運動方程式は、
∴
・・・C
で1回目に
に到達してから2回目に
に到達するまでの時間
はB式と同様に、
,よってこれとBより、
......[ヌ]2回目に
に到達したとき、荷電粒子のy座標は、 なので、ドリフトの向きはy軸正方向です。 A ......[ル]ドリフトの平均の速さは、ドリフトの大きさDを[ヌ]の
で割り、
......[ヲ]また、
と
の違いによる運動エネルギーの差が
に等しいとして、[リ],Cを用いて、 ∴
よって、ドリフトの平均の速さ[ヲ]は、
......[ワ]
問3 [ワ]において
として、ドリフトの平均の速さは、
......[答]となり、荷電粒子の電荷q,速さに依存しなくなります。電荷がqの場合の
における軌道は、問1と同様に、右図実線のようになります。[ヌ]で
とすることにより、電荷が
の場合の周期
は、 となります。電荷が
の場合の場合の2周期分の時間は
です。ドリフトの平均の速さは電荷に依存しないので、電荷が
の場合の2周期分のドリフトの大きさは、電荷がqの場合の1周期分のドリフトの大きさに一致し、
において電荷がqの場合の到達点と同一の点に到達します。よって電荷
の軌道は右図点線のようになります。
電荷が
の場合の等速円運動の半径は、
においては[リ],
においてはC式において
としてCの
になります。
参考.地球大気を形成する窒素や酸素の原子は、原子核が電子を束縛している状態にあり電気を通さないのですが、高温になると電子が原子核を離れて電子とイオンが自由に飛び交う状態になり電気を通すようになります。これをプラズマと言いますが、雷が電気を通すのは、積乱雲の激しい上昇気流中でプラズマとなった気体中を電気が通るからです。
太陽は、高温の水素やヘリウムが電離して巨大なプラズマの塊となったものです。太陽表面でフレアと呼ばれる爆発現象が起きると、太陽からプラズマが地球に飛来し地球大気中の原子と衝突して北極圏南極圏に(地球が地磁気を持っているためです)オーロラを発生させます。これを書いている2024年5月中旬にも、太陽で大規模なフレアが連続して発生し、低緯度の本州でもオーロラを見ることができたそうです。
プラズマは大量のイオンが集団で行動することにより、様々な物理現象を起こしますが、人口太陽と言われる核融合発電もその一つです。正電荷を持つ水素原子核同士を衝突させて核融合を起こすのに充分な運動エネルギーを持つためには、プラズマを1億度以上の温度にする必要があると言われています。
プラズマの挙動を解析すると、電場をかけてプラズマにドリフト運動させるとき、ドリフト速度は荷電粒子の電荷や速度に依存しなくなります。それを簡単なモデルを用いて確かめようというのが、本問の問3です。
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