東工大物理'06年前期[1]
コンパクトディスク(CD)の記録面が虹色に見える現象を題材にして、光の性質を観察する実験を考えよう。
CDの記録面は図1のような構造で、図2の断面図に示すように、透明基板の下層に反射膜が塗布された面があり、その面上にピットと呼ばれる情報が記録されている部分が半径方向に間隔dで周期的に並んでいる。ピットのない部分では光がそのまま反射されるが、ピットの部分で光が乱反射されると仮定する。このとき、CDの記録面は格子定数dの回折格子とみなすことができる。ピットは曲線上に並んでいるが、狭い範囲について考えたときは直線に並んでいると考えて差し支えないものとする。
[A] 図3のように白い紙で作ったついたてに小さな穴Wを開け、その裏側からレーザー光をCDの記録面に対して垂直に照射して、その反射光をついたて上で観察する。レーザー光の空気中での波長をλ，空気の屈折率を1とする。
(a) 以下の空欄①～④に入る適切な数式を答えよ。
図2に示すように、間隔dだけ離れて透明基板に入射する光Aと光Bを考える。屈折率n (
)の透明基板中で、光Aは点Kで反射膜に対して垂直に入射し、回折した光が点Mから透明基板を出て行く。このとき、距離KPが光の波長の整数倍であれば、光Aと光Bは強め合うことになる。透明基板中での光の波長は ① で与えられるので、透明基板中で回折光が入射光となす角を
とすると、強め合う条件は ② ＝m ① (mは整数)となる。
光Aと光Bがそれぞれ点Mと点Nで透明基板を出た後、基板表面の法線に対してθ の方向に進む。θ は、n及び
と ③ の関係を持つ。この関係式を用いて
を消去すると、CDから十分離れたスクリーン上で強め合う条件は、
④ となる。 (b) 透明基板中で回折光の角
が大きいとき、透明基板から空気中へ出ていく光がなくなる場合がある。その理由を述べよ。またそのときの角
が満たす関係式を示せ。 (c) 図3の実験において、CDとついたての間の距離lが300mmのとき、小さな穴Wの上下に
[mm]だけ離れた位置に一つ目の回折光が観察された。レーザー光の波長が0.50μmであるとき、格子定数dは何μmであるか。有効数字2桁まで求めよ。なお、これ以降の議論では透明基板の厚さは無視してよい。また、必須であれば以下の値を用いてよい。 [B] 次に、図4のように白熱灯光源から出た光が小さな穴
を通り、凸レンズにより平行な光となってCDの記録面全体へ垂直に当たるようにした。図中で点PはCDの中心であり、点PからCDの法線上にzだけ離れた位置QからCD表面を見たとき、赤、黄、緑、紫などの色のついた回折パターンが観察された。ただし観察するときCDに照射される光をさえぎることはないものとする。 (d) 答案用紙(e)欄の図のように、CDの記録面上に点Pを原点としてx-y座標を定義する。このとき、点Qから見てこの面上で波長λの回折光が強め合う位置の座標x，yとPQ間の距離zの間の関係式を求めよ。ただしzはx，yよりも十分大きく、
としてよい。 (e) 
[mm]としたとき、紫色(λ≒0.40[μm])から赤色(λ≒0.64[μm])に変化する虹色の回折パターンがどのように配置されるか、答案用紙の目盛りを参考にして、おおよその形を書き入れよ。 
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解答 コンパクトディスクを光にかざすと虹色の模様が見えます。そのカラクリを数値計算をして確かめてみようという問題です。なお、光の屈折、光の干渉、回折格子を参照してください。
[Ａ](a)① 空気中で波長λの光は、屈折率nの透過基板中では波長は、
......[答] ② 透過基板中で光が強め合う条件は、距離KPが光の波長の整数倍となることで、
･･･⑤
......[答]③ 透過基板の上面において、屈折の法則より、
......[答]④ ③より、
これを⑤に代入すると、 ∴ 
･･･⑥ (回折格子を参照)
.......[答]
(b) (a)③より、
ですが、
なので、
とはなり得ません。このときは、透明基板と空気との間の境界面で全反射することになります。ここでは、臨界角の場合(
のとき)も空気中に光が出て行かない場合に含めておくことにします。 理由：透明基板と空気との間の境界面で全反射してしまうから。 ......[答]関係式：
......[答]
(c) 一つ目の回折光なので、(a)⑥式において、
として、
図3より、
∴ 
[μm] ......[答]
[Ｂ](d) 凸レンズを出た光がCDの記録面に当たる点をRとします。
三角形PQRは直角三角形で、CDの記録面に当たって反射した光が回折して強め合う条件⑥の回折角θ は
に等しく、
より、 これより、⑥は、
∴ 
......[答] ･･･⑦ 
(e) 
[μm](紫色)のとき、⑦において、
[m]⑦で
のときは、回折パターンは半径：30mmの円周となりますが、
のときは、半径が61mmとなり、CD面から外れてしまいます。
[μm]のとき、⑦において、 
[m]
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≒1.41，
≒1.73，
≒2.24，
≒3.16
のときは、回折パターンは半径：49mmの円周となりますが、
のときは、半径が97mmとなり、CD面から外れます。
に対応するものだけがCD面に現れて、右図のようになります。