東京工業大学2007年前期物理入試問題

東京工業大学2007年前期物理入試問題

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[1]　ばねと摩擦の力によって生じる振動現象に関連した以下の問いに答えよ。

[A]　図1のように、水平方向に一定の速度Vでゆっくりと動くベルトコンベヤーの上に、質量mの箱が置かれている。天井には梁(はり)があり、箱は、この梁とばね定数kの水平なばねでつながれている。ばねが自然の長さのときの箱の位置を原点として、水平方向右側が正になるように座標軸xをとる。ただし、この箱の底面はベルトから離れることがない。また、箱とベルトの間の静止摩擦係数をμ，動摩擦係数を

とし、重力加速をgとする。

(a) 時刻

において箱は原点にあり、ベルトに付着して速度Vで移動している。その後、ある時刻に箱はベルトから滑り出した。この滑り出した時刻における箱の座標

とばねの持つ弾性エネルギー

を求めよ。

(b) 滑っているときの箱の運動は、ある座標

を中心とした周期が

の単振動の運動方程式によって表される。ただし、1周期分の振動をする前に、箱は速度がベルトの速度Vと同じになった時点で、静止摩擦力によって再びベルトに付着することになる。箱の加速度をaとして、この滑っている状態における箱の運動方程式を書け。また、上記の

と

を求めよ。

(d) この後、箱はベルトに付着したまま速度Vで座標

まで移動し、そこで滑りはじめ、座標

でベルトに再び付着するという振る舞いを繰り返す。

を満たす場合について、μを用いてこのくり返しの周期Tを表せ。ただし、箱が滑っている間の時間は、箱がベルトに付着して移動している時間に比べて無視できるほど短いものとする。

[B]　今度は、前問[A]と同じ箱が2つあり、図2のように、天井の2つの梁とばね定数

，

のばねでそれぞれつながれている。さらに、この2つの箱どうしは、ばね定数

のばねによってつながれている。ベルトは一定の速さVでゆっくりと動いている。以下の問いでは、

，および

の条件を満たす場合を考える。ただし、2つの箱をつなぐばねは梁に接触することはない。

(e) ある時刻で、2つの箱はベルトに付着しており、3つのばねは自然の長さであった。その後、左右どちらかの箱が最初に滑り出し、再びベルトに付着した。この間、もう一方の箱がベルトに付着したままであるとき、ばね定数

が満たすべき条件を

，

を用いて表せ。ただし、箱が滑り出してから付着するまでの時間は短く、その間のベルトの動きは無視できるものとする。

(f) 図2の設定で2つの箱の運動を観察し続けたとき、どのような動きが見られるか。箱どうしをつなぐばねが、他のばねに比べて非常に弱い場合と非常に強い場合について予想されることを90文字以内で答えよ。

[解答へ]

[2]　　図1に示すように、断面積S[

]の円筒状シリンダー密閉容器が、滑らかに動く質量m[kg]のピストンによりA室とB室に仕切られている。A室とB室にはそれぞれ気体を封入することができる。両室の気密性は高く、気体の漏れは無視できる。ピストンおよびシリンダーの側面と底面は熱を通さない。一方、シリンダーの上面は熱を通す。シリンダー各室内では温度と圧力は常に均一である。重力加速度を

，シリンダーに封入される理想気体の定積モル比熱を

，気体定数を

とし、以下の問いに答えよ。ただし、シリンダーに封入される理想気体の質量はピストンの質量に対し十分に小さく無視できる。

[A]　まず、A室のみに1モルの理想気体を封入したシリンダーを水平な床に垂直に立てた。B室は真空である。ピストンはシリンダー上面から糸によりつるされた状態で静止しており、このときのA室内の気体の体積、温度、圧力は、それぞれ

，

であった。B室の体積は

であった。この状態を初期状態と呼ぶ。

(a) ピストンをつるしている糸を切断したところ、ピストンは気体の体積が

になるまで下方に移動し、その後は上方に向かう運動に転じた。ピストンが最下点に達したときの気体の温度を

とする。このときの気体の内部エネルギーの初期状態に対する変化量

を

，

を用いて表せ。

(b) ピストンが最下点に達したときのピストンの位置エネルギーの初期状態に対する変化量

を

，m[kg]，S[

]，

を用いて表せ。

を求めよ。

[B]　次に、B室にもA室と同じ理想気体を1モル封入した。このシリンダーを図2に示すように、水平面内で回転できる円盤上に固定した。シリンダーの中心軸は円盤の回転軸に直交し、A室が円盤の外側を向いている。B室側のシリンダー端面には熱源を接続し、B室の気体が圧力を常に一定に保ちながら状態変化するように熱を供給する。円盤が静止しているときのA室の気体の体積、温度、圧力は、それぞれ

，

であり、B室の気体の体積、温度、圧力は、それぞれ

，

であった。この状態を状態1と呼ぶ。円盤を静かに回転させ始めたところ、ピストンは静かに動き始め、その後、円盤の回転角速度を徐々に増し、ある回転角速度に達した後は等速回転させた。このとき、ピストンはA室とB室の気体の体積が、それぞれ

，

となる位置で静止していた。これを状態2と呼ぶ。このA室とB室の気体の状態変化をシリンダーとともに回転する観測者が見るとして、以下の問いに答えよ。

(d) A室とB室の気体の状態変化の概略を、それぞれ解答欄のp－V図上に描け。A室とB室の状態1，2をそれぞれA1，A2，B1，B2として図中に示し、各状態における圧力と体積を明記すること。ただし、A室の気体の状態2における圧力として

を用いてよい。なお、解答欄の図には、1モルの理想気体の温度

，

における等温変化の曲線が記入されている。これらの曲線との関係も考慮して記入すること。さらに、円盤の回転によりピストンにはたらく遠心力がA室の気体にした仕事に対応する領域を斜線で示せ。

(e) ピストンにはたらく遠心力がA室の気体にした仕事

を求めよ。

ただし、[A]の結果を用いてもよい。

[解答へ]

[3]　電磁波は電場と磁場が振動しながら伝わる横波である。ある地点での電場の時間変化を図1に示す。波の最も高いところを山、最も低いところを谷と呼ぶ。また、電磁波の速さを

とする。ある人工衛星が、波長

の電磁波を発信している。この人工衛星の仰角θ を測定する装置を開発する。仰角とは人工衛星を見上げる角度のことで、水平方向が

，真上が

である。まず図2に示すような2台の受信器A，Bと時間差計測器からなる装置を用意した。受信器Aの真下に受信器Bを置き、その間隔dを3.0mにした。この装置は受信器Ａが電場の山を検出してから受信器Bが電場の山を最初に検出するまでの時間差を計測する。次に装置をテストするため、人工衛星と同じ波長の電磁波を発信する発信器を装置から十分離れた位置に置いた。以下の問いに答えよ。
必要なら「

から角度θ を求める表」を用いてもよい。

(a) この電磁波の周波数f[Hz]を求めよ。

(b) 発信器を仰角

の場所に置いたところ、2台の受信器で同時刻に山が検出された。発信器を少しずつ高く上げてθ を少しずつ大きくしていくと、2つの受信器の検出時刻に差が生じ、その差は徐々に大きくなっていった。この時間差

をθ で表せ。

を求めよ。

(d) 前問(c)で述べたことが起こるため、この装置ではθ を一つに決めることができない。このことを考えに入れて時間差が

のときのθ の正弦(

)を小さい方から3つ求めよ。

(e) 角度

を大きくするためには2台の受信器の間隔を小さくすればよい。2台の受信器の間隔dを0.30mにした場合には、

は何度になるか。

(f) この時間差計測器の測定精度には限界があり、0.1ns (

)未満の時間差は切り捨てられてしまう。たとえば、0.2ns以上0.3ns未満の時間差は0.2nsと測定される。いま、間隔dが3.0mの装置で時間差が0.5nsと検出されたとき、仰角θ は何度から何度の範囲になるか。ただし、θ はdが3.0mの装置での

より小さいとする。この同じ電磁波を間隔dが0.30mの装置で計測すると時間差は何nsになるか。これから求められる仰角θ の範囲は何度から何度になるか。

(g) このように受信器の間隔を小さくすると

は大きくなるが、求められるθ の精度は悪くなってしまう。

を大きく保ちつつ高精度の計測を行うため、3台の受信器A，B，Cを用いる。BはAの真下に3.0m離して設置し、CはAの真下に0.30m離して設置した。この装置で実際の人工衛星を観測したところ、受信器Aが電場の山を検出してから受信器B，受信器Cが最初に電場の山を検出するまでの時間はそれぞれ0.4ns，0.7nsであった。人工衛星の仰角θ は何度から何度の範囲にあるか。

[解答へ]

各問検討

[1](解答はこちら)　この問題は東工大の名にふさわしい難問です。ですが、高級な受験技巧を振り回す、という難しさではありません。この問題で扱われる基礎事項は、弾性力、弾性エネルギー、摩擦力、滑り出さない条件、単振動の運動方程式、単振動の周期・振幅・振動中心に関する基礎事項、等速度運動、そんな程度です。理系受験生にはお馴染みのものです。[B]では2物体の運動を扱いますが、慣性力や相対運動と言ったものも出てきません。にもかかわらず、[A](c)以降では、受験生はかなり苦しむと思います。
どこが難しいのか、と言うと、単振動の対称性に気づくことができるか、また、「箱が滑っている間の時間は、箱がベルトに付着して移動している時間に比べて無視できるほど短い」、「箱が滑り出してから付着するまでの時間は短く、その間のベルトの動きは無視できる」といった問題文で与えられている条件の意味するところを理解できるか、また、2物体の運動と摩擦力の状況を的確に把握できるか、というような点にポイントがあります。
こうした難解さに対応するためには、文章の読解力のみならず、詩や俳句の言葉の裏側に広がる世界を空想したり、小説で登場人物の微妙な心理の動きを探ったり、論説文で難解な言い回しの中から筆者の意図を把握する、といったことを日常的にやってくれていないと、東工大物理の入試問題文を読みこなすところで苦労することになります。東工大受験生の場合は、自分は理系だから国語の授業は居眠りの時間だ、などと言っていられないのです。目的意識が強すぎて視野狭窄にならないように注意してください。幅広い学力が要求されているのです。
特にB[e]では、ノー・ヒントで、

，

などの条件から、片方が滑り、他方は滑らない、という状況を考察しなくてはいけません。問題文からでは、バネ定数の間の関係に至る道すじも見えてきません。箱1の状況、箱2の状況、そして、問題文の指定、という具合に一つずつ丁寧に調べていくと、不等式が出てくる、という感じです。ここが切り抜けられなくても合格できると思いますが、切り抜けられれば、合格を確信できると思います。東工大制覇の秘訣は国語の学力にある、ということを、かみしめて頂きたいと思います。

[2](解答はこちら)　[B]の遠心力というのが少々物珍しいですが、出題者がピストンに働く力を1つ増やしたかった、ということであって、遠心力固有の性質を考える必要はありません。それを除けば、断熱変化に関する基礎的な問題と言ってもよいのでしょうか？東工大は、p-V図を描かせたり、仕事に相当する部分に斜線を入れさせたり、という問題をよく見かけます。真空への自由膨張の際の仕事に斜線を入れる、というようなときは注意が必要ですが、ここでは、A室の気体が受けた仕事から、B室の気体のした仕事を引いた部分の面積を考えれば問題ないでしょう。
最後の「Aの結果を用いてもよい」ということわり書きが何を意味するのかわからずに困った受験生もいたと思いますが、「Aの結果を用いなくてもよい」と思えば、ポアッソンの関係式：

一定を用いて解答してもOKです。もちろん、

という形で使えば、解答よりももっと早くすみます。

[3](解答はこちら)　こういう問題が、物理の真の実力差が現れる問題です。ひょっとして、出題者は、入試問題として最適な問題はどういう問題か、ということを意識することなく、ふだん自分が使っている実験装置の仕組みをそのまま入試問題にしたのかも知れません。ですが、そういう問題だからこそ、机上の空論ではなく、実地に即した、真の物理の学力が問われる入試問題になったとも言えると思います。
波動分野はバラエティーに富んでいて、記憶するべきことも多く、また、各現象の原理がつかみにくい分野なので、どうしても、公式を丸暗記するだけの勉強になってしまいがちです。しかし、公式の丸暗記では、こうした問題には歯が立たなかっただろうと思います。「干渉」現象と同様に、この問題で「ある角度で再び時間差が0になってしまう」と言っているのは、波では、同じものが次から次へとやってくるので、最初の1つと2番目、3番目では見分けられない、という、単純なことなのですが、公式の丸暗記だけの勉強をしてきた人には、何のことかわからなかっただろうと思います。波動現象というのはどういう現象なのか、干渉やドップラー効果はどういう仕掛けで起こる現象なのか、そのカラクリの方に興味をもって勉強してきた受験生は、いとも簡単にこの問題を解いただろうと思います。
光の干渉であれば、窓ふきのときにスプレーをかけてさっと拭けばすぐに色づいた干渉縞を見ることができます。CDやDVDに光をあてても見ることができます。どうして虹が見えるのか、どうして津波で局所的に大きな被害が出てしまうのか、バイオリンやギターの共鳴箱はどうして変な形をしているのか、そうしたことを、なぜ？どうして？と関心溢れる目で見て欲しいと思います。こうした問題で高得点できるかどうか、ということは、解いた問題の数や勉強量ではないのです。物理を関心をもって勉強しているかどうかで、この問題では大差がついてしまいます。

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