東工大物理'07年前期[3]
電磁波は電場と磁場が振動しながら伝わる横波である。ある地点での電場の時間変化を図1に示す。波の最も高いところを山、最も低いところを谷と呼ぶ。また、電磁波の速さを
とする。ある人工衛星が、波長
の電磁波を発信している。この人工衛星の仰角θ を測定する装置を開発する。仰角とは人工衛星を見上げる角度のことで、水平方向が
，真上が
である。まず図2に示すような2台の受信器A，Bと時間差計測器からなる装置を用意した。受信器Aの真下に受信器Bを置き、その間隔dを3.0mにした。この装置は受信器Ａが電場の山を検出してから受信器Bが電場の山を最初に検出するまでの時間差を計測する。次に装置をテストするため、人工衛星と同じ波長の電磁波を発信する発信器を装置から十分離れた位置に置いた。以下の問いに答えよ。
必要なら「
から角度θ を求める表」を用いてもよい。
(a) この電磁波の周波数f[Hz]を求めよ。
(b) 発信器を仰角
の場所に置いたところ、2台の受信器で同時刻に山が検出された。発信器を少しずつ高く上げてθ を少しずつ大きくしていくと、2つの受信器の検出時刻に差が生じ、その差は徐々に大きくなっていった。この時間差
をθ で表せ。 (c) 仰角θ をさらに大きくすると、ある角度で再び時間差が0になってしまう。この時の角度
を求めよ。 (d) 前問(c)で述べたことが起こるため、この装置ではθ を一つに決めることができない。このことを考えに入れて時間差が
のときのθ の正弦(
)を小さい方から3つ求めよ。 (e) 角度
を大きくするためには2台の受信器の間隔を小さくすればよい。2台の受信器の間隔dを0.30mにした場合には、
は何度になるか。 (f) この時間差計測器の測定精度には限界があり、0.1ns (
)未満の時間差は切り捨てられてしまう。たとえば、0.2ns以上0.3ns未満の時間差は0.2nsと測定される。いま、間隔dが3.0mの装置で時間差が0.5nsと検出されたとき、仰角θ は何度から何度の範囲になるか。ただし、θ はdが3.0mの装置での
より小さいとする。この同じ電磁波を間隔dが0.30mの装置で計測すると時間差は何nsになるか。これから求められる仰角θ の範囲は何度から何度になるか。 (g) このように受信器の間隔を小さくすると
は大きくなるが、求められるθ の精度は悪くなってしまう。
を大きく保ちつつ高精度の計測を行うため、3台の受信器A，B，Cを用いる。BはAの真下に3.0m離して設置し、CはAの真下に0.30m離して設置した。この装置で実際の人工衛星を観測したところ、受信器Aが電場の山を検出してから受信器B，受信器Cが最初に電場の山を検出するまでの時間はそれぞれ0.4ns，0.7nsであった。人工衛星の仰角θ は何度から何度の範囲にあるか。 
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解答 波動の公式を暗記しているだけの受験生には、何を言っているのか意味不明の問題文だと思いますが、波動についてよく理解できている受験生には簡単な問題です。有効数字の書き方に注意をしてください。
......[答]
(b) 発信器から受信器A，Bまでの経路差
，受信器A，Bが検出した時刻の差
による位相差は(波の位相を参照)、∴ 
･･･①c，dに値を代入して、 
......[答]
(c) 再び時間差が0、ということは、仰角
から仰角を大きくして行き、仰角が
になったときに、ちょうど位相差が
となった，つまり、経路差
が波長λに等しくなったということです。
より、
，表より、
......[答]
(d) 仰角
から仰角を大きくして行き、①において、
のときに最初に時間差が
になるとして、このときの経路差は、
として、この経路差が
増加したときにも同じ位相差となり、同じ時間差を生ずるので、時間差が
となる経路差
は、∴ 
･･･②
従って、時間差が
となる正弦の値は、小さい方から3つ書くと、②において、
のときで、 
......[答]
(e) 仰角が
のときに経路差
がちょうど波長λになるので、 ∴ 
∴ 
......[答]
(f) 時間差が0.5nsということは、
･･･④表より、仰角の範囲は、
......[答] (これより大きな角度もあり得ますが、題意より、(d)のnが0の場合を答えます)
のとき、
となりますが、これを④にかけて、 ①より
，よって、観測される時間差
は、0[ns] ......[答]時間差が0[ns]と観測されるとき、
より、 表より、仰角の範囲は、
......[答]
(g) AとCでは
で
，①より、 ∴ 
･･･⑤
このとき、
なので、経路差は波長以下であり、経路差の中に1個を越える波が入ることはありません。AとBでは、
で、
より、②において
として、 
･･･⑥⑤，⑥がともに満たされるようなnを探すと、
のときで、このとき、 表より、仰角の範囲は、
......[答]
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，
より、
･･･③
のとき、
より、
