東京工業大学 2012 年前期物理入試問題 【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
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[1] 幅の無視できる円弧型のレール ABC( 半径 R ，長さ ) があり、円弧を含む面と床が垂直になるよう置かれている。レールの中央 B は常に床に固定されており、 B を通る鉛直線 OB を軸としてレールは回転することができる。大きさの無視できる物体 ( 質量 M )は、レール上を運動するとき、レールに束縛されながらなめらかに運動し、両端 (A ， C) でのみレールから離れることができる。 O から見て、物体が OB となす角を θ とする。重力加速度の大きさを g とし、以下の問いに答えよ。 [A] レールが回転していないとき、質量 M の物体を A に乗せ、静かに離したところ、物体はレール上を図 1 のように運動し始めた。
(a) 物体が角 θ ( の位置を運動しているとき、物体の速さ、レールから受ける垂直抗力を求めよ。 (b) 物体がレール上を運動し、 B の位置に到達したとき、レール上で静止していた大きさの無視できる物体 ( 質量 m )と衝突した。衝突後、質量 m の物体はレール上をなめらかに運動し、再び衝突することなく、レールの端 C から離れた。 2 つの物体間の反発係数が e (であるとき、この運動が実現するための m の条件を求めよ。 [B] OB を軸にして、円弧型のレールを図 2 のように回転させる。このとき、レール上の物体 ( 質量 M )はレールとともに回転運動する。
(c) ある角速度 ω でレールが回転し、角 θ ( の位置で物体が等速円運動している場合について考える。この運動を、回転しているレール上の観測者から見ると、物体に働く力は図 3 のようにつり合い、物体は静止して見える。この観測者から見た物体に働く力 ( 図 3 ：ア，イ，ウ ) の名称を書け。また、この運動は角速度 ω が (d) 問 (c) において、レールの角速度を ( に固定する。このとき、回転しているレール上の観測者から見ると、角 3 の 3 種類である。物体が角 θ ( の位置で運動しているとき、物体に働くレールに沿った方向の力の大きさを、重力加速度 g を用いずに表せ。 (e) 問 (d) において、角 ( が十分に小さい場合について考える。このとき、物体に働くレールに沿った方向の力は、つり合いの位置からの距離に比例し、その方向は常につり合いの位置を向いているため、物体は単振動をする。この単振動の周期を重力加速度 g を用いずに表せ。 ただし、 (f) 問 (c) の状態から、レールの角速度 ω をゆっくりと増加させた。この過程において角速度の変化は十分小さいため、短い時間における物体の運動は角速度 ω の等速円運動をみなすことができる。角速度が A から離れた。このとき、レールを真上から見ると、床面で定義されている x 軸と、図 4 のように重なって見えた。その後、レールから離れた物体はしばらくして床に落下し、レールは角速度 5 のように見えた。 [ 解答へ ] [2] 面積 S の同じ形状を持つ導体極板 A と B が間隔 d で向かい合わせに配置された平行板コンデンサーを、真空中に置く。このコンデンサーの極板間に、導体極板と同じ形状を持つ面積 S の金属板 P を、極板 A から距離 x を隔てて極板に対して平行に置く。真空の誘電率を [A] 図 1 のように、極板 A と B は、スイッチ SW を介して接続され、極板 A は接地されている。 (a) スイッチ SW が開いているとき、極板 A ， B 間の電気容量を求めよ。
(b) スイッチ SW を閉じた後、金属板 P を電気量 Q の正電荷で帯電させる。この電荷によって極板 A と B に誘導される電気量を、それぞれ求めよ。
(c) 問 (b) において、コンデンサーに蓄えられている静電エネルギーを求めよ。
[B] 次に、質量 m の金属板 P を電気量 Q の正電荷で帯電させたまま、図 2 のように自然長 k の 2 つの同じ絶縁体のばねに接続する。ばねの他端は、固定された極板 A と B にそれぞれつながれている。この金属板は、極板 A ， B と平行を保ったまま、極板に垂直な方向にのみ動くことができる。極板 A と B は、電流計を介して接続され、極板 A は接地されている。ばねを接続したことによる電気容量の変化、電流計の抵抗、金属板の振動による電磁波の発生は無視する。 (e) 金属板 P の位置を P が単振動するために必要となる Q に求められる条件を k ， S ， d を用いて表せ。また、この条件を満たすとき、単振動の角振動数を求めよ。 [ 解答へ ] [3] [A] 図 1 上図のように原点 O にスピーカーを置き、一定の振幅で、一定の振動数 f の音波を x 軸の正の向きに連続的に発生させる。空気の圧力変化に反応する小さなマイクロホンを複数用いて、 x 軸上 ( の各点で圧力 p の時間変化を測定する。 ある時刻において、 x 軸上 ( の点 P 付近の空気の圧力 p を x の関数として調べたところ、図 1 下図のグラフのようになった。ここで距離 OP は音波の波長よりも十分長く、また音波が存在しないときの大気の圧力を p は最大値をとる x の区間を 8 等分し、 x 座標を定める。 (a) から x 軸の正の向きに空気が最も大きく変位している位置、および x 軸の正の向きに空気が最も速く動いている位置はそれぞれどれか。
次に点 P で空気の圧力 p の時間変化を調べたところ、図 2 のグラフのようになった。圧力 p が最大値をとる時刻 1 周期を 8 等分し、 (b) から x 軸の正の向きに空気が最も大きく変位しているのはどの時刻か。
図 3 のように、原点 O から見て点 P より遠い側の位置に、 x 軸に対して垂直に反射板を置くと、圧力が時間とともに変わらず常に x 軸上に等間隔に並んだ。 (c) これらの隣接する点の間隔 d はいくらか。なお、音波の速さを c とする。
(d) 問 (c) の状態から気温が上昇したところ、問 (c) で求めた d は増加した。その理由を説明せよ。
[B] 音波が大気中を伝わるとき、各部分では空気の圧縮と膨張が繰り返されている。圧縮と膨張は熱の伝達よりはやく起こるため、断熱変化とみなすことができる。音波が空気中をどのように伝わるかについて手がかりを得るため、空気を理想気体として以下のような簡単なモデルを考える。 図 4 上図のように空気を x 軸方向に細かく等間隔に分割し、各区間をピストン付きの円筒断熱容器に閉じ込められた空気で置き換える。図 4 下図はそのひとつの部分を示したものである。ここでピストンはなめらかに動くことができ、また大気圧 ( ，体積が ( したとしよう。ただし、 h (は 1 に比べて十分小さい ) 、ゼロでない数 n に対して成り立つ近似式 (e) 容器内に閉じ込められた空気の圧力の増加量 p と体積 V の間に K を求めよ。ここで γ は、定圧モル比熱を定積モル比熱で割った定数である。 (f) 空気中を伝わる音波の速さ c は、 K と空気の密度 ρ とを用いて α と β の値を求めよ。 [ 解答へ ] 【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
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)の位置を運動しているとき、物体の速さ、レールから受ける垂直抗力を求めよ。
)があり、円弧を含む面と床が垂直になるよう置かれている。レールの中央Bは常に床に固定されており、Bを通る鉛直線OBを軸としてレールは回転することができる。大きさの無視できる物体(質量M)は、レール上を運動するとき、レールに束縛されながらなめらかに運動し、両端(A，C)でのみレールから離れることができる。
)であるとき、この運動が実現するためのmの条件を求めよ。
(c) ある角速度ω でレールが回転し、角θ (
)の位置で物体が等速円運動している場合について考える。この運動を、回転しているレール上の観測者から見ると、物体に働く力は図3のようにつり合い、物体は静止して見える。この観測者から見た物体に働く力(図3：ア，イ，ウ)の名称を書け。また、この運動は角速度ω が
の条件を満たすとき実現する。このとき
，
を求めよ。
(
)に固定する。このとき、回転しているレール上の観測者から見ると、角
の位置で物体に働く力はつり合い、物体は静止して見える。次に、物体をつり合いの位置から少し動かし離したところ、物体はレール上を運動し始めた。円弧型レールを含む平面内で物体に働く力は、図3の3種類である。物体が角θ (
)の位置で運動しているとき、物体に働くレールに沿った方向の力の大きさを、重力加速度gを用いずに表せ。
からの変位
(
)が十分に小さい場合について考える。このとき、物体に働くレールに沿った方向の力は、つり合いの位置からの距離に比例し、その方向は常につり合いの位置を向いているため、物体は単振動をする。この単振動の周期を重力加速度gを用いずに表せ。
が十分小さいとき、
の項は無視することができ、必要なら次の式を用いよ。
(f) 問(c)の状態から、レールの角速度ω をゆっくりと増加させた。この過程において角速度の変化は十分小さいため、短い時間における物体の運動は角速度ω の等速円運動をみなすことができる。角速度が
に達したとき、物体はレールの端Aから離れた。このとき、レールを真上から見ると、床面で定義されているx軸と、図4のように重なって見えた。その後、レールから離れた物体はしばらくして床に落下し、レールは角速度
を保ったまま回転した。物体が落下したとき、物体とレールを真上から見ると、図5のように見えた。
⑤ を満たす。
(
)をなす位置に時間 ③ の後落下する。ここで、
⑥ 
である。このことから、回転している座標系において物体が運動しているとき、レールを含む面から離れる方向にも見かけの力は働いていることがわかる。
として以下の問いに答えよ。ただし、極板端面および金属板端面における電場の乱れはなく、電気力線は極板間に限られるものとする。導線、極板、金属板の抵抗、重力は無視する。また金属板の厚さも無視する。
[A] 図1のように、極板AとBは、スイッチSWを介して接続され、極板Aは接地されている。
まで微小変位させる。この変位による、コンデンサーに蓄えられている静電エネルギーの変化量を求めよ。ただし、x，dに比べて
は十分小さく、
は無視できるものとする。微小変位によりエネルギーが変化するということは、金属板Pは力を受けていることを意味する。微小変位の間は金属板Pに働く力の大きさは一定であると見なして、この力を求めよ。ただし、極板AからBに向かう向きを力の正の向きとする。
[B] 次に、質量mの金属板Pを電気量Qの正電荷で帯電させたまま、図2のように自然長
，ばね定数kの2つの同じ絶縁体のばねに接続する。ばねの他端は、固定された極板AとBにそれぞれつながれている。この金属板は、極板A，Bと平行を保ったまま、極板に垂直な方向にのみ動くことができる。極板AとBは、電流計を介して接続され、極板Aは接地されている。ばねを接続したことによる電気容量の変化、電流計の抵抗、金属板の振動による電磁波の発生は無視する。
に移動させてから放す。このとき、金属板Pが単振動するために必要となるQに求められる条件をk，
，S，dを用いて表せ。また、この条件を満たすとき、単振動の角振動数を求めよ。
を求めよ。導線を流れる電流Iは、微小時間
の間に導線の断面を
の電荷が通過するとき、
と定義される。
[3][A] 図1上図のように原点Oにスピーカーを置き、一定の振幅で、一定の振動数f の音波をx 軸の正の向きに連続的に発生させる。空気の圧力変化に反応する小さなマイクロホンを複数用いて、x軸上(
)の各点で圧力pの時間変化を測定する。
)の点P付近の空気の圧力pをxの関数として調べたところ、図1下図のグラフのようになった。ここで距離OPは音波の波長よりも十分長く、また音波が存在しないときの大気の圧力を
とする。圧力pは最大値をとる
から、次に最大値をとる
までのxの区間を8等分し、
，
，･･･，
と順にx座標を定める。
から
までの各位置の中で、x軸の正の向きに空気が最も大きく変位している位置、およびx軸の正の向きに空気が最も速く動いている位置はそれぞれどれか。
次に点Pで空気の圧力pの時間変化を調べたところ、図2のグラフのようになった。圧力pが最大値をとる時刻
から、次に最大値をとる時刻までの1周期を8等分し、
，
，･･･，
と順に時刻を定める。
から
までの各時刻の中で、x軸の正の向きに空気が最も大きく変位しているのはどの時刻か。
図3のように、原点Oから見て点Pより遠い側の位置に、x軸に対して垂直に反射板を置くと、圧力が時間とともに変わらず常に
となる点がx軸上に等間隔に並んだ。
[B] 音波が大気中を伝わるとき、各部分では空気の圧縮と膨張が繰り返されている。圧縮と膨張は熱の伝達よりはやく起こるため、断熱変化とみなすことができる。音波が空気中をどのように伝わるかについて手がかりを得るため、空気を理想気体として以下のような簡単なモデルを考える。
における容器内の空気の体積を
とする。
に増加し(
)，体積が
に減少(
)したとしよう。ただし、
と
は、それぞれ
と
に比べ十分小さい量とする。以下の計算では、微小量どうしの積
は無視してよい。また必要ならば、微小量h (
は1に比べて十分小さい)、ゼロでない数nに対して成り立つ近似式
を用いよ。
と体積の減少率
の比を
とおく。断熱変化のもとでは、圧力pと体積Vの間に
の関係が成り立つことを用いてKを求めよ。ここでγ は、定圧モル比熱を定積モル比熱で割った定数である。
と表せることがわかっている。両辺の次元を比べることにより、αとβの値を求めよ。
付近の音波の速さcは、摂氏温度θ を用いて、
という近似式で表せることがわかる。空気の1モル当たりの質量をM，気体定数をRとし、
における音波の速さ
を式で表せ。また、定数aの値を有効数字2桁で求めよ。