東工大物理 '12 年前期 [1] 幅の無視できる円弧型のレール ABC( 半径 R ，長さ ) があり、円弧を含む面と床が垂直になるよう置かれている。レールの中央 B は常に床に固定されており、 B を通る鉛直線 OB を軸としてレールは回転することができる。大きさの無視できる物体 ( 質量 M )は、レール上を運動するとき、レールに束縛されながらなめらかに運動し、両端 (A ， C) でのみレールから離れることができる。 O から見て、物体が OB となす角を θ とする。重力加速度の大きさを g とし、以下の問いに答えよ。 [A] レールが回転していないとき、質量 M の物体を A に乗せ、静かに離したところ、物体はレール上を図 1 のように運動し始めた。
(a) 物体が角 θ ( の位置を運動しているとき、物体の速さ、レールから受ける垂直抗力を求めよ。 (b) 物体がレール上を運動し、 B の位置に到達したとき、レール上で静止していた大きさの無視できる物体 ( 質量 m )と衝突した。衝突後、質量 m の物体はレール上をなめらかに運動し、再び衝突することなく、レールの端 C から離れた。 2 つの物体間の反発係数が e (であるとき、この運動が実現するための m の条件を求めよ。 [B] OB を軸にして、円弧型のレールを図 2 のように回転させる。このとき、レール上の物体 ( 質量 M )はレールとともに回転運動する。
(c) ある角速度 ω でレールが回転し、角 θ ( の位置で物体が等速円運動している場合について考える。この運動を、回転しているレール上の観測者から見ると、物体に働く力は図 3 のようにつり合い、物体は静止して見える。この観測者から見た物体に働く力 ( 図 3 ：ア，イ，ウ ) の名称を書け。また、この運動は角速度 ω が (d) 問 (c) において、レールの角速度を ( に固定する。このとき、回転しているレール上の観測者から見ると、角 3 の 3 種類である。物体が角 θ ( の位置で運動しているとき、物体に働くレールに沿った方向の力の大きさを、重力加速度 g を用いずに表せ。 (e) 問 (d) において、角 ( が十分に小さい場合について考える。このとき、物体に働くレールに沿った方向の力は、つり合いの位置からの距離に比例し、その方向は常につり合いの位置を向いているため、物体は単振動をする。この単振動の周期を重力加速度 g を用いずに表せ。 ただし、 (f) 問 (c) の状態から、レールの角速度 ω をゆっくりと増加させた。この過程において角速度の変化は十分小さいため、短い時間における物体の運動は角速度 ω の等速円運動をみなすことができる。角速度が A から離れた。このとき、レールを真上から見ると、床面で定義されている x 軸と、図 4 のように重なって見えた。その後、レールから離れた物体はしばらくして床に落下し、レールは角速度 5 のように見えた。 【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
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解答 地球上で北半球では、低気圧に吹き込む風は反時計回りに回るような渦を描きます。地球上で見て「 コリオリの力 」と呼ばれる 慣性力 が、 速度 に対して右向きに働くためです ( 南半球では逆になります ) 。北半球の状況をモデル化した (f) で、この発生原因を考察していますが、「 コリオリの力 」は高校範囲外であるため、空所補充形式の出題になったと思われます ( もちろん、解答に知識は不要です ) 。 質量 M の物体を M ， 質量 m の物体を m と呼ぶことにします。 [A](a) A にいるとき、物体 M の床からの 高さ は、 M の エネルギー は、 位置エネルギー のみです。 物体 M が角 θ の位置に来たとき、物体 M の床からの 高さ は M の 速さ を v として、物体 M は 運動エネルギー と 位置エネルギー を持っています。 力学的エネルギー保存 より、 ∴ 答 ] ･･･① θ の位置に来たときの物体 M の法線方向の 運動方程式 は、物体 M がレールから受ける 垂直抗力 を N として、 ①を代入して、
......[ 答 ]
(b) 衝突直前の物体 M の 速さ は、①で ③を代入して、
∴ 物体 m の B での エネルギー は、 運動エネルギー のみです。物体 m の C での 速さ を m は C において 運動エネルギー と 位置エネルギー を持っています。 B と C での力学的エネルギー保存 より、 物体 m が C においてレールから離れる条件は、 C においても 運動エネルギー を有すること、つまり、 ∴ ②を代入して、 ∴ ∴ 答 ] [B](c) ( ア ) 垂直抗力 ( イ ) 遠心力 ( ウ ) 重力 ......[ 答 ]
垂直抗力 を N とします。 重力 は 回転半径 は 遠心力 は 力のつり合い は、 ， ∴ ･･･④ ， ......[ 答 ]
(d) ④は、 重力 の接線方向成分は接線に沿って下向きに 遠心力 の接線方向成分は接線に沿って上向きに 力 の大きさは、 ......[ 答 ]
(e) 問題文の近似を行うと、
物体の 変位 を 加速度 を a として、運動方程式 は、 ∴ これは、 角振動数 の 単振動 を表します。単振動の 周期 T は、 ......[ 答 ]
(f) 物体は、レールから離れた後、回転運動の接線方向 (x 軸に垂直な方向 ) に等速度運動します。物体に働く 力 は 重力 のみです。物体に働く 力 は、 x 軸の正の向きに 0 ，鉛直下向きに ① 0 ② 答 ] 物体の鉛直方向の運動は自由落下と同じです。床に落下するまでの 時間 を t として、レールから離れたとき 高さ だったので、 ∴ ③ 答 ] 物体 A は、レールから離れる直前、 半径 ， 角速度 の 等速円運動 をしていました。物体 A の 速さ は x 軸正方向に等速度運動するときの 速さ も P ， P から x 軸に下ろした垂線を PH とします。 時間 進むので、落下地点と x 軸との 距離 PH は、 B との 距離 OB は、
④ 答 ] ⑤ 答 ] 時間 の間のレールの回転角 角速度 で回っているので、 よって、 答 ] 【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
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)の位置を運動しているとき、物体の速さ、レールから受ける垂直抗力を求めよ。
)があり、円弧を含む面と床が垂直になるよう置かれている。レールの中央Bは常に床に固定されており、Bを通る鉛直線OBを軸としてレールは回転することができる。大きさの無視できる物体(質量M)は、レール上を運動するとき、レールに束縛されながらなめらかに運動し、両端(A，C)でのみレールから離れることができる。
)であるとき、この運動が実現するためのmの条件を求めよ。
(c) ある角速度ω でレールが回転し、角θ (
)の位置で物体が等速円運動している場合について考える。この運動を、回転しているレール上の観測者から見ると、物体に働く力は図3のようにつり合い、物体は静止して見える。この観測者から見た物体に働く力(図3：ア，イ，ウ)の名称を書け。また、この運動は角速度ω が
の条件を満たすとき実現する。このとき
，
を求めよ。
(
)に固定する。このとき、回転しているレール上の観測者から見ると、角
の位置で物体に働く力はつり合い、物体は静止して見える。次に、物体をつり合いの位置から少し動かし離したところ、物体はレール上を運動し始めた。円弧型レールを含む平面内で物体に働く力は、図3の3種類である。物体が角θ (
)の位置で運動しているとき、物体に働くレールに沿った方向の力の大きさを、重力加速度gを用いずに表せ。
からの変位
(
)が十分に小さい場合について考える。このとき、物体に働くレールに沿った方向の力は、つり合いの位置からの距離に比例し、その方向は常につり合いの位置を向いているため、物体は単振動をする。この単振動の周期を重力加速度gを用いずに表せ。
が十分小さいとき、
の項は無視することができ、必要なら次の式を用いよ。
(f) 問(c)の状態から、レールの角速度ω をゆっくりと増加させた。この過程において角速度の変化は十分小さいため、短い時間における物体の運動は角速度ω の等速円運動をみなすことができる。角速度が
に達したとき、物体はレールの端Aから離れた。このとき、レールを真上から見ると、床面で定義されているx軸と、図4のように重なって見えた。その後、レールから離れた物体はしばらくして床に落下し、レールは角速度
を保ったまま回転した。物体が落下したとき、物体とレールを真上から見ると、図5のように見えた。
⑤ を満たす。
(
)をなす位置に時間 ③ の後落下する。ここで、
⑥ 
である。このことから、回転している座標系において物体が運動しているとき、レールを含む面から離れる方向にも見かけの力は働いていることがわかる。
です。物体Mのエネルギーは、位置エネルギー
のみです。
......[答]
として、
･･･②
のみです。物体mのCでの速さを
として、物体mはCにおいて運動エネルギー
と位置エネルギー
を持っています。
で、
......[答]
，
･･･④
より
，
，
......[答]
となります。これより、
です。
，遠心力の接線方向成分は接線に沿って上向きに
，接線方向に働く力の大きさは、
......[答]
(
を無視)
，物体の加速度をaとして、運動方程式は、
......[答]
です。
......[答]
だったので、
......[答]
，角速度
の等速円運動をしていました。物体Aの速さは
です。x軸正方向に等速度運動するときの速さも
です。落下地点をP，Pからx軸に下ろした垂線をPHとします。時間
進むので、落下地点とx軸との距離PHは、
......[答]
......[答]
の間のレールの回転角
は、角速度
で回っているので、
......[答]
で、物体
......[
，
，物体の
で、物体に働く
，これらの
，水平方向：
