東工大物理'12年前期[2]
面積Sの同じ形状を持つ導体極板AとBが間隔dで向かい合わせに配置された平行板コンデンサーを、真空中に置く。このコンデンサーの極板間に、導体極板と同じ形状を持つ面積Sの金属板Pを、極板Aから距離xを隔てて極板に対して平行に置く。真空の誘電率を
として以下の問いに答えよ。ただし、極板端面および金属板端面における電場の乱れはなく、電気力線は極板間に限られるものとする。導線、極板、金属板の抵抗、重力は無視する。また金属板の厚さも無視する。
[A] 図1のように、極板AとBは、スイッチSWを介して接続され、極板Aは接地されている。(a) スイッチSWが開いているとき、極板A，B間の電気容量を求めよ。
(b) スイッチSWを閉じた後、金属板Pを電気量Qの正電荷で帯電させる。この電荷によって極板AとBに誘導される電気量を、それぞれ求めよ。
(c) 問(b)において、コンデンサーに蓄えられている静電エネルギーを求めよ。
[B] 次に、質量mの金属板Pを電気量Qの正電荷で帯電させたまま、図2のように自然長
，ばね定数kの2つの同じ絶縁体のばねに接続する。ばねの他端は、固定された極板AとBにそれぞれつながれている。この金属板は、極板A，Bと平行を保ったまま、極板に垂直な方向にのみ動くことができる。極板AとBは、電流計を介して接続され、極板Aは接地されている。ばねを接続したことによる電気容量の変化、電流計の抵抗、金属板の振動による電磁波の発生は無視する。(e) 金属板Pの位置を
に移動させてから放す。このとき、金属板Pが単振動するために必要となるQに求められる条件をk，
，S，dを用いて表せ。また、この条件を満たすとき、単振動の角振動数を求めよ。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 コンデンサーとばね振り子の融合問題です。(f)では、問題文に「
と定義される」と書かれている上、導出過程も要求されているので、
とはやりにくいところです。
[A](a) AP間の静電容量は
，BP間の静電容量は
SWが開いているとき、
，
は直列で、合成容量
とすると、
∴ 
......[答] (b) SWを閉じると、
，
は並列になります。合成容量Cは、 AP間(BP間も同じです)の電圧Vは、
極板Aに誘導される電気量は、
......[答]極板Bに誘導される電気量は、
......[答] (c) 金属板Pが極板Aから距離xを隔てて置かれているとき、コンデンサーに蓄えられる静電エネルギー
は、 (d) 微小変位によってエネルギーの変化を生じさせる、金属板Pが受ける力Fとは、静電気力のことです。
金属板Pの位置をxから
まで変化させたときの静電エネルギーの変化
は、 これは、金属板Pが静電気力に逆らう外力
から受けた仕事に等しく、この力が一定だったとして、
静電気力は、
......[答]
[B](e) 金属板Pが極板Aからxの距離にあるとき、金属板Pは、静電気力Fとばねの弾性力を受けます。
左右のばねの自然長をLとすると、極板Aから極板Bに向かう向きを正の向きとして、左のばねの弾性力は正の向きに
，右のばねの弾性力は負の向きに
で、合わせて、 金属板Pが受ける静電気力Fとばねの弾性力の合力は、(d)の結果を用いて、
金属板Pが単振動する条件は、この合力が復元力となることで、 ∴ 
......[答]この条件下で、金属板Pの運動方程式は、金属板Pの加速度をaとして、 これは、振動中心
，角振動数
の単振動を表します。 
......[答](f) 時刻tにおける金属板Pと極板Aとの距離は、
において
であることから、 極板Bに蓄えられている電気量qは、(b)より、
･･･①時刻
における電気量
は、 
･･･②②－①より、
∴ 
......[答]
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
東工大物理TOP 物理TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
まで微小変位させる。この変位による、コンデンサーに蓄えられている静電エネルギーの変化量を求めよ。ただし、x，dに比べて
は十分小さく、
は無視できるものとする。微小変位によりエネルギーが変化するということは、金属板Pは力を受けていることを意味する。微小変位の間は金属板Pに働く力の大きさは一定であると見なして、この力を求めよ。ただし、極板AからBに向かう向きを力の正の向きとする。
を求めよ。導線を流れる電流Iは、微小時間
の間に導線の断面を
の電荷が通過するとき、
と定義される。
(ここで、
，
として近似)
