東工大物理'13年前期[3]
単色光源から出た波長λの光が、単スリットS，二重スリットA，Bを通過し、スクリーン上に作り出す干渉縞を、光の強度(明るさ)に比例した読みを与える光検出器Cを用いて観測する。屈折率が1の大気中に、単スリットSを有する遮光板と、二重スリットA，Bを有する遮光板と、大きさの無視できる光検出器が置かれたスクリーンが、図1①のように互いに平行に置かれている。各スリットは、紙面に垂直な方向に細長く、水平方向の幅は波長に比べて十分に狭い。また、二重スリットA，Bの間隔a (
)は、波長よりも十分に大きい。スリットSの位置は、可動装置Nによって左右に動かすことができ、二重スリットA，Bの位置は固定されている。光検出器Cの位置をスクリーン上の座標xで表し、二重スリットA，Bから等距離にある点を原点Oとし、図の右向きを正にとる。各スリットの間の距離を
，
，スリットと光検出器との間の距離を
，
のように表す。以下の問いでは、原点付近(
)の光の強度について考える。
(a) 
となる位置に単スリットSを固定し、光検出器Cの位置xをずらしながら、その読みを記録した。以下の文章の空欄に入る適切な数式を答えよ。解答欄には答えのみを書くこと。 
はL，x，aを用いて、
ア と表される。ここで、
のとき、
とする近似を用いると、
イ となる。同様の計算を
についても行うと、
ウ となる。光検出器の位置をずらしながら、その読みを記録したところ、スクリーンに生じた干渉縞に対応して、図1②のように読みがxとともに周期的に変化した。この干渉縞の間隔は
エ であった。
(b) 可動装置Nを使って単スリットSの位置をずらした。以下の文章の空欄に入る適切な数式を答えよ。(オ)については導出過程も書くこと。
が0から
に変化したとき、干渉縞がx軸正の方向にdだけずれた。
ウ より、dはa，L，
を用いて
オ と表すことができる。光検出器Cをずらしながら、その読みを記録したところ、読みは
という関数で表すことができた。ここで、αは、干渉縞の光強度が最大となる位置における光検出器Cの読みである。
次に、可動装置Nを使って単スリットSの位置を不規則に変化させたところ、光検出器Cの読みが不規則に変動した。そこで、光検出器の読みを十分長い時間にわたって平均し、その平均値を、光検出器の位置xの関数として作図した。すると、図1③のように、干渉縞が消失してしまった。これは次のように理解することができる。単スリットSの位置を不規則に動かすと、
が変化し、干渉縞のずれdが不規則に変化する。実験では光検出器の読みを表す式
の中の
という項が
から1までの値を不規則に取り、長い時間にわたって読みを平均することで、平均値が0に近づいていったものと考えられる。そのために、光検出器の読みの平均値が カ に近づき、干渉縞が消失したわけである。
(c) 可動装置Nを使って単スリットSの位置を不規則に変化させても、干渉縞を観察することができるように、図2のような、問(a)の光検出器Cと同一の応答をする光検出器2台を有する新しい装置Mを用いることにした。二つの光検出器
，
の位置を
，
とする。同時刻における、
，
の読みをかけあわせた値が、装置Mの読みとして得られる。
を固定し、
をずらしながらMの読みを記録した。以下の文章の空欄に入る適切な数式、または記号を答えよ。解答欄には、答えのみを書くこと。
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解答 (c)(ケ)が難しいのですが、ここは数学の入試問題だと思って切り抜けましょう。波動現象は三角関数の性質と合わせて理解するのがベストです。
(a) Aからx軸(スクリーン)に下ろした垂線の足をHとします。
，
より、 (ア) 
......[答]問題文中の近似を行うと、 (イ) 
......[答]同様に、
，よって、 (ウ) 
......[答]スクリーン上でAから来た光とBから来た光が干渉して強め合う条件は、経路差
が波長の整数倍となることで、mを整数として、
(b) 
が0から
に変化したとき、Aを通る光と、Bを通る光の経路差は、 ∴ 
①との違いを考えると、干渉縞の位置のずれは、
(オ) 
......[答]長い時間にわたって読みを平均すると、
より、光検出器の読みは、 (カ) 
......[答] 注．
，
，
だとして、(エ)の干渉縞の間隔は、
です。Sを有する遮光板とA，Bを有する遮光板の距離もLだとして、
となるのは、単スリットSを1cm動かしたときです。 干渉縞のずれdをzと表すことにすると、単スリットSを動かすということは、zを時間t の関数
とする、ということです。ここでは簡単にするために
(
)，t：
のときz：
とします。数学的に言えば、「長い時間にわたって読みを平均する」というのは、 という操作をすることに相当しますが、ここで、
であることを考えると、単スリットSの動かし方がかなり激しくてkが微小量でないときには、
です。
(c) 
，
の読みをかけ合わせた値は、 
･･･②これが装置Mの読みです。
単スリットSを
となる位置に固定すると、
となり、 このとき、
であれば、
と無関係に
となります。このために、nを整数として、 ∴ 
(キ) 
......[答]
を
に固定すると、
より、②は、 (ク) 
......[答] 
･･･③ここで、
よって、③は、
問(b)の考えに基づいて長い時間にわたって平均をとると、このうちのdを含む項は0に近づくので、
(ケ) 
......[答]これを表しているグラフは⑤です。(コ) ⑤ ......[答]
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となる位置に固定した。nを整数として、
が キ という条件を満たしている場合は、
をずらしても、Mの読みは0のまま変化しなかった。しかし、
を
の位置に固定すると、装置Mの読みが、
の関数として間隔Pで周期的に変化した。
となる位置にずらすと、スクリーン上の干渉縞が、問(b)と同様にdだけずれた。
を
の位置に固定したまま、
の位置
を変えながら装置Mの読みを記録すると、その値は、α，P，d，
を用いて、 ク という関数で表すことができた。
最後に、可動装置Nを用いて、単スリットSの位置を不規則に変化させたところ、装置Mの読みが変動した。そこで、問(b)と同様に、装置Mの読みを十分長い時間にわたって平均した値を、
を変えながら記録した。
は
に固定したままである。先ほど求めた装置Mの読み ク の中で、dを含む三角関数の値は、
から1までの値を不規則に変化する。問(b)の考えに基づくと、装置Mの読みを十分長い時間平均した値は、α，P，
を用いて、 ケ と表されるはずである。実験をしてみたところ、 コ (図3 ①～⑩のうちから一つ選択せよ)のようなグラフが得られた。
･･･①
です。
