東京工業大学2020年前期物理入試問題

東京工業大学2020年前期物理入試問題

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[1]　図のように、2つの斜面AB(床に対する傾斜角θ)，EF(長さL，床に対する傾斜角θ)と水平な面CD(長さ

)を、2つの円弧面BC(中心点G，半径R)，DE(中心点

，半径R)でなめらかにつなげた台P (質量M)が水平な床の上に置かれている。この台P上に置かれた大きさの無視できる物体Q (質量m)が、面に沿って摩擦なしに運動する。ただし、斜面ABの長さはLより長く、物体Qは台Pの端点Fに達したときには、台Pから離れることができるとする。また、台P，物体Qはいずれも図の奥行き方向には移動しないものとする。水平方向にx軸を、鉛直方向にy軸をとり、それぞれ図の右向き、上向きを正とする。空気抵抗は無視できるとし、重力加速度の大きさを

として、以下の問に答えよ。

[A]　台Pが床に固定されている場合を考える。

(a) 斜面AB上で面CDに対して高さhの場所に物体Qを置いて初速度なしに放した。物体Qが初めて点Dに達したときの物体Qの床に対する速度のx成分を求めよ。

(b) 問(a)において、hがある値

より大きいとき、物体Qは端点Fに達して台Pから離れるが、hが

より小さいとき、物体Qは台Pから離れない。このような

をm，M，

，

，R，θのうち必要なものを用いて表せ。

より大きいとき、物体Qは端点Fに達した後、台Pから離れる。物体Qが端点Fを離れてから最高点に達するまでの時間を、m，M，

，h，

，θのうち必要なものを用いて表せ。

(d) 円弧面BC上の点

に物体Qを置いて初速度なしに放したところ、物体Qは面CD上を移動し、円弧面DE上の点に達した後、そこから滑り降りて再び点

に戻る周期運動を行った。この運動の周期について述べた次の文章において、空欄(ア)～(エ)に当てはまる数式を答えよ。ただし、線分

が線分CGとなす角

は十分に小さく、物体Qの円弧面上の運動は単振動と見なせるものとし、必要なら

，

の近似式を用いてよい。

物体Qが点

から初めて点Cに達するまでの時間は

である。また、点Cに達したときの物体Qの速さは

に比例した式

で表すことができる。このことから、物体Qが点Cから初めて点Dに達するまでの時間は

と表せる。したがって、この運動の周期は

である。

[B]　台Pが床から離れることなく摩擦なしにx方向に移動できる場合を考える。

(e) 台Pが床に対して静止しているとき、斜面AB上で面CDに対して高さhの場所に物体Qを置いて初速度なしに放した。物体Qが初めて点Dに達したときの物体Qおよび台Pの床に対する速度のx成分

，

をそれぞれ求めよ。

(f) 問(e)において、hがある値

より大きいとき、物体Qは端点Fに達して台Pから離れるが、hが

より小さいとき、物体Qは台Pから離れない。このような

をm，M，

，

，R，θのうち必要なものを用いて表せ。

(g) 問(e)において、hが

より大きいとき、物体Qは端点Fに達した後、台Pから離れる。この瞬間の台Pの床に対する速度のx成分

について述べた次の文章において、空欄(オ)，(カ)に当てはまる数式を答えよ、

物体Qが台Pから離れる瞬間における物体Qの床に対する速度のx成分およびy成分をそれぞれ

，

とすると、物体Qが斜面EF上を運動していたことから、

，

の間には斜面EFの傾斜角θで決まる関係式

が成り立つ。この式と、力学的エネルギー保存則および運動量保存則を連立して解くと、

と表される。

[C]　物体Qの置かれた台Pが常にx方向に加速度a (

)の等加速度運動を行うように、台Pに適切な外力Tを加える場合を考える。台Pは、床から離れることなく摩擦なしにx軸の正の向きに運動するものとする。

(h) 円弧面BC上にある物体Qが、点B，Cを超えることなく台Pから見て単振動と見なせる十分に振幅の小さな周期運動を行った。この運動の周期を求めよ。

(i) 次に、斜面AB上に物体Qが置かれた状況を考える。台Pを床に対して距離sだけ移動させている間、物体Qは斜面AB上で運動していた。この間に外力Tが行った仕事の大きさをm，M，

，s，θ，aを用いて表せ。

[解答へ]

[2]　電磁場中における質量m，電荷qの荷電粒子の運動を考察する。断りのない限り、qは正負いずれの値も取りうるものとする。磁束密度

は、時間的に変化することはないとする。また、磁束密度

の向きは、図1のように紙面の裏から表の向きであり、この向きをz軸の正の向きとし、荷電粒子はxy平面内を運動するものとする。なお、荷電粒子は真空中を運動するものとし、また、重力の影響は無視できるものとする。

[A]　磁束密度の大きさ

の一様な磁場中で、荷電粒子が速さ

でxy平面上の等速円運動を行っているとする。なお、設問[A]では、電場はかかっていないものとする。以下の問に答えよ。

(a) 円運動の半径

を、m，

，

のうち必要なものを用いて表せ。

(b) 荷電粒子の速度のx，y成分をそれぞれ

，

とし、荷電粒子が受ける力のx，y成分をそれぞれ

，

とする。

および

を、q，

，

のうち必要なものを用いてそれぞれ表せ。

[B]　次に、磁束密度の向きはz軸の正の向きのまま、

では磁束密度の大きさが

，

では磁束密度の大きさが

であるとする。なお、設問[B]でも、電場はかかっていないものとする。

時刻

において、荷電粒子が原点Oをy軸の正の向きに速さ

で通過した。nを正の整数として、荷電粒子が

でn回目にx軸を横切る時刻(すなわちy座標がゼロとなる時刻)を

，そのときのx座標を

と書くことにする。以下の問に答えよ。

，

のうち必要なものを用いて、

，

および

を表せ。

(d) 荷電粒子のy座標のとりうる最大値および最小値を、m，

，q，

，

のうち必要なものを用いて表せ。さらに、解答欄のグラフに、

の場合の

の間の荷電粒子の軌跡(半円)が記されている。これにひきつづき、

の間の荷電粒子の軌跡の概形を解答欄のグラフに描き加えよ。

[C]　次に、z軸の正の向きの磁場に加えて、電場もある場合を考える。設問[C]では、磁束密度は一様で大きさ

とする。他方、電場はy軸の正の向きを向いており、一様で大きさ

とする。時刻

において、荷電粒子は原点Oに静止しているとする。ここで、時刻tにおける荷電粒子の速度のx，y成分を、それぞれ

，

と表すこととする。以下の問に答えよ。

(e) 時刻tにおいて、荷電粒子が受ける力のx，y成分をそれぞれ

，

とする。

および

を、q，

，

のうち必要なものを用いてそれぞれ表せ。

(f) ある速さ

でx軸の正の向きに等速度運動する観測者から見た場合には、荷電粒子の運動が等速円運動に見える。 m，q，

，

および

のうち必要なものを用いて

を表せ。

(g)

の場合と

の場合のそれぞれにつき、時刻

からしばらくの間の、静止した観測者から見た荷電粒子の軌跡の概形として、もっともふさわしいものを、図2の選択肢①～⑩からそれぞれ1つずつ選べ。

(h)

の場合を考える。荷電粒子のy座標のとりうる最大値

は、(f)で求めた

を用いて下記のようになる。空欄

に当てはまる数式をm，q，

，

のうち必要なものを用いて表せ。

また、静止した観測者から見た場合に、

において最初に

となるときのx座標の絶対値

は、下記のように

の定数倍となっている。空欄

を埋めよ。

(i) 引き続き

の場合を考える。静止した観測者から見た場合に、時刻

からしばらくの間の荷電粒子の運動エネルギーの変化の様子としてもっともふさわしいものを、図3の選択肢①～④から選べ。ただし、図3の横軸にある

は、荷電粒子のy座標が

で最初にゼロとなる時刻を表す。

さらに、図3に示した縦軸の運動エネルギー

の値をm，q，

，

のうち必要なものを用いて表せ。なお、選択肢④では、運動エネルギーは充分長い時間の経過ののち、

に達するものとする。

[解答へ]

[3]　液体状態の水(以下では単に水と呼ぶ)をシリンダーに密封して圧力一定のもとで加熱していくと、水の温度が上昇し、ある温度に達すると水から水蒸気への変化(蒸発)が生じる。この温度を気液共存温度(沸点)と呼び、この温度においては水と水蒸気が共存できる。気液共存温度において一定量の水をすべて水蒸気に変化させるのに必要な熱量を蒸発熱と呼ぶ。この気液共存温度と圧力の関係が図1中に気液共存線として示されている。図1の縦軸は圧力、横軸は温度であり、気液共存線の左側の領域では水、右側の領域では水蒸気となり、気液共存温度は圧力の増加とともに上昇する。
以下、本問では、水の1molあたりの体積(すなわちモル体積)を