東京科学大理工学系物理'25年前期物理入試問題

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[1]　図1のような円錐状にくり抜かれた台の上における物体の運動について考える。円錐の底面の中心を点O，頂点を点Pとし、線分OPは鉛直方向に沿っているとする。また、円錐の母線が線分OPに垂直な面となす角をθとする。物体は質量mの質点とみなせるものとする。台と物体との間には摩擦があり、静止摩擦係数をμ，動摩擦係数を

とする。台は線分OPを軸として回転することができるが、並進はしないものとする。鉛直下向きの重力加速度の大きさを

とする。以下の設問に答えよ。

[A]　台が回転していない状況を考える。はじめ、物体は線分OPからrだけ離れた台上の点で静止している。

(a) 物体にはたらく摩擦力の大きさf を求めよ。

物体に対して点Pへ向けて指で少しずつ力を加えたところ、物体は指を離れて台に対して初速度0で点Pに向って滑り出し、やがて点Pに到達した。

(b) 物体が点Pに到達した際の速さ

を求めよ。

，m，

，r，θのうち必要なものを用いて表せ。

[B]　物体が線分OPからrだけ離れた台上の点で静止している状態で、図2に示すように、台を真上から見て反時計回りにゆっくりと回転させ始めた。回転の角速度ωを0から少しずつ大きくしたところ、ある角速度

に達した時点で物体は台に対して滑り出した。角速度の時間変化は無視できるものとする。

(d) 角速度ω(

)で台を回転させている際に、物体にはたらく垂直抗力の大きさNを求めよ。

(e) 台上の観測者から見て物体が滑り出す向きとして、最も適当なものを図3の①～⑧より1つ選べ。なお、②，④，⑥，⑧はそれぞれ、①と③，③と⑤，⑤と⑦，⑦と①に挟まれた任意の向きを示す。

(f) 物体が台に対して滑り出した時点における台の回転の角速度

を求めよ。

[C]　物体が線分OPからrだけ離れた台上の点で静止している。微小な時間

に対し

の割合で回転の角速度ωを0から大きくしながら台を真上から見て反時計回りに回転させ始めたところ、回転させ始めると同時に物体は台に対して滑り出した。

(g) 微小な時間

における、線分OPからrだけ離れた台上の点の速さの変化

を求めよ。

(h) 台上の観測者から見て物体が滑り出す向きとして、最も適当なものを図3の①～⑧より1つ選べ。なお、②，④，⑥，⑧はそれぞれ、①と③，③と⑤，⑤と⑦，⑦と①に挟まれた任意の向きを示す。

(i) 回転させ始めると同時に物体が台に対して滑り出すために、

が満たすべき条件を不等式で示せ。

[解答へ]

[2]　図のように、真空中に面積Sの2枚の円形の極板を、中心軸を合わせて水平に固定し、上下の極板間に起電力Vの直流電源と電流計をつなぐ。次に、極板と同じ面積で質量mの導体円板を、極板間に中心軸を合わせて挿入する。導体円板は極板間を鉛直方向に移動できるが、その際、極板と平行を保ち、かつ水平方向にずれることなく動くものとする。また、導体円板の厚さは極板間の距離dと比べて十分小さいとする。極板端部や導体円板端部における電場の乱れは無視できる。極板、導体円板、導線の抵抗、および電源と電流計の内部抵抗は無視できる。極板と導体円板の接触時における電荷の移動は速やかに起こるものとする。真空の誘電率を

，重力加速度の大きさを

とする。

[A]　導体円板を下の極板と接触させ、そっと手をはなす。直流電源の起電力Vがある値よりも低ければ、導体円板は動かない。このとき、以下の設問に答えよ。

(a) 導体円板の上面に生じる電荷を求めよ。

(b) 上の極板と導体円板で構成される平行板コンデンサーに蓄えられた静電エネルギーを求めよ。

[B]　導体円板を下の極板と接触させ、そっと手をはなす。直流電源の起電力Vがある値よりも高ければ、導体円板は浮上を始める。下の極板の表面から導体円板までの距離をyとする。このとき、以下の設問に答えよ。

はじめに、浮上時における導体円板の運動を考える。

(d) 上下の極板と導体円板で構成される平行板コンデンサーに蓄えられた全静電エネルギーを距離yの関数として求めよ。

(e) 導体円板の上昇速度を距離yの関数として求めよ。

(f) 電流計を流れる電流Iを距離yの関数として求めよ。なお、電流Iは図中の矢印の向きを正とする。

その後、導体円板は上の極板に接触する。上の極板に接触したあとも含めて導体円板の運動を考える。導体円板と極板との接触は完全非弾性衝突と仮定する。

(g) 導体円板が浮上し始める時刻を

としたときに、時刻t と距離yの関係として最もふさわしいものを、右の①～⑲から選べ。なお、

と

は各図中で定義される時間である。

[解答へ]

[3]　十分な長さを持つシリンダー内に質量が無視できるピストンがあり、それらにより閉じ込められた気体の状態変化について考える。大気圧を

，気体定数をR，重力加速度の大きさを

とし、以下の設問に答えよ。

[A]　図1のように、断面積Sのシリンダーが水平な床の上に鉛直に固定されている。ピストンはシリンダー内の気体と大気を仕切ることができ、傾くことなく鉛直方向に滑らかに動く。シリンダー底面からピストンの下面までの距離を用いて、ピストンの位置をxと表す。シリンダー、ピストンは断熱材でできている。

最初、質量mのおもりを乗せたピストンが

で静止しており、ピストンの下側に温度

の単原子分子理想気体が閉じ込められていた。

(a) シリンダー内の気体の圧力を求めよ。

次に、ピストンに外力を加え、ピストンの位置を

までゆっくりと移動させ、シリンダー内の気体を圧縮した。

(b) ピストンの位置

におけるシリンダー内の気体の温度を求めよ。

[B]　図2のように、同じ断面積Sを持つシリンダーA，シリンダーBが水平な床の上に鉛直に固定されており、コックと細孔栓のついた細い管でつながっている。ピストンA，ピストンBは、それぞれシリンダーA内、シリンダーB内の気体と大気を仕切ることができ、傾くことなく鉛直方向に滑らかに動く。ピストンAにはおもりが乗っており、ピストンBにはおもりが乗っていない。細孔栓は細孔のあるつめものであり、細孔栓を用いることでシリンダーA内、シリンダーB内の気体の圧力をそれぞれ一定に保ちながら気体を移動させることができる。シリンダー、ピストン、コックと細孔栓のついた細い管は断熱材でできている。シリンダー底面からピストンの下面までの距離を用いて、ピストンAの位置をx，ピストンBの位置をyと表す。

最初、コックは閉じられており、ピストンAは

に、ピストンBはシリンダーの底(

)に静止している。ピストンAの下側には温度

の単原子分子理想気体が閉じ込められており、気体の圧力は

である。
次に、コックを開き、ピストンAにかかる力のつり合いを保ちながら、ピストンAをゆっくりと下方に動かした。コックを開いた直後の気体の状態を状態1とよぶ。ピストンAを下方に動かしていく過程において、シリンダーA内の気体の一部が、細孔栓のついた細い管を通ってシリンダーB内に流入し、ピストンBはゆっくりと上方に移動した。このとき、シリンダーA内の気体の温度は