東京科学大理工学系物理'25年前期[2]

東京科学大理工学系物理'25年前期[2]

図のように、真空中に面積Sの2枚の円形の極板を、中心軸を合わせて水平に固定し、上下の極板間に起電力Vの直流電源と電流計をつなぐ。次に、極板と同じ面積で質量mの導体円板を、極板間に中心軸を合わせて挿入する。導体円板は極板間を鉛直方向に移動できるが、その際、極板と平行を保ち、かつ水平方向にずれることなく動くものとする。また、導体円板の厚さは極板間の距離dと比べて十分小さいとする。極板端部や導体円板端部における電場の乱れは無視できる。極板、導体円板、導線の抵抗、および電源と電流計の内部抵抗は無視できる。極板と導体円板の接触時における電荷の移動は速やかに起こるものとする。真空の誘電率を

，重力加速度の大きさを

とする。

[A]　導体円板を下の極板と接触させ、そっと手をはなす。直流電源の起電力Vがある値よりも低ければ、導体円板は動かない。このとき、以下の設問に答えよ。

(a) 導体円板の上面に生じる電荷を求めよ。

(b) 上の極板と導体円板で構成される平行板コンデンサーに蓄えられた静電エネルギーを求めよ。

[B]　導体円板を下の極板と接触させ、そっと手をはなす。直流電源の起電力Vがある値よりも高ければ、導体円板は浮上を始める。下の極板の表面から導体円板までの距離をyとする。このとき、以下の設問に答えよ。

はじめに、浮上時における導体円板の運動を考える。

(d) 上下の極板と導体円板で構成される平行板コンデンサーに蓄えられた全静電エネルギーを距離yの関数として求めよ。

(e) 導体円板の上昇速度を距離yの関数として求めよ。

(f) 電流計を流れる電流Iを距離yの関数として求めよ。なお、電流Iは図中の矢印の向きを正とする。

その後、導体円板は上の極板に接触する。上の極板に接触したあとも含めて導体円板の運動を考える。導体円板と極板との接触は完全非弾性衝突と仮定する。

(g) 導体円板が浮上し始める時刻を

としたときに、時刻t と距離yの関係として最もふさわしいものを、右の①～⑲から選べ。なお、

と

は各図中で定義される時間である。

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解答　本問も[1]と同様に基礎事項に関する問題ですが、基礎事項だからと言って易しいというわけではありません。丁寧な考察が必要です。

[A](a) 極板間隔がdのとき、導体円板上部と上の円形円板の間にできるコンデンサーの静電容量は

，これに電圧Vをかけるときコンデンサーに生じる電荷Qは、

，導体円板の上面に生じる電荷は、

......[答]

(b) 平行板コンデンサーに蓄えられた静電エネルギー

は、

......[答]

[B]　導体円板の上側にできる極板間隔

のコンデンサーの静電容量

は、

，導体円板の下側にできる極板間隔yのコンデンサーの静電容量

は、

，右図のように、

が蓄える電荷を

，

が蓄える電荷を

，

の極板間電圧を

，

の極板間電圧を

とすると、

，

，また、

　･･･①

さて、導体円板が下の円形円板と接触していて

であるときから、僅かに

となり、導体円板と下の円形円板との接触が切れる瞬間を考えます。このとき、上の円形円板と導体円板の間のコンデンサーの静電容量はまだ[A]のCのまま(

のときの

)です。コンデンサーには電荷Qが蓄えられているので、上の円形円板には

，下の円形円板には

の電荷があり、接触が切れた瞬間にも導体円板には

の電荷が残ります。従って接触が切れた以後導体円板が浮上している間、導体円板にはこの

の電荷が残ります(合成容量の公式を参照)。つまり、

　･･･②

です。①は、

　･･･③

となりますが、②，③を連立し、②＋③×

とすると、

∴

　･･･④
②より、

　･･･⑤

......[答]

導体円板の下面に生じる電荷は、

......[答]
yが0からdまで変化すると、

：

，

：

と変化します。

(d) 上下の極板と導体円板で構成される平行板コンデンサーに蓄えられた全静電エネルギーUは、④，⑤より、

......[答]

(e) 導体円板の上昇速度をvとすると、導体円板の運動エネルギーは

です。手を放してから上昇した距離をyとすると、

の位置を基準として、導体円板の位置エネルギーは

です。

手を放してから距離y上昇するまでに導体円板の静電エネルギーは

からUまで変化します。
上の円形円板と下の円形円板が直流電源に接続されているので、導体円板の移動とともに電荷が移動して、上の円形円板と下の円形円板の電荷が変化し、直流電源が仕事をすることに注意します。移動した電荷は、

です。直流電源がした仕事は、

　･･･⑥

エネルギーの原理より、

　･･･⑦

(b)，(d)の結果、⑥を用いて、

　･･･⑧

導体円板は浮上するので、

......[答]

(f) 電流計を流れる電流Iは、上の円形円板の電荷の変化率

に等しく(

のとき電荷

が増えるので

です)、⑤より、

　(

です)

......[答]

(g) ⑧を変形して、

　･･･⑨

　･･･⑩

ここで、仮に

(つまり

)だとすると、

のときに

になってしまいます。導体円板が浮上する(

のとき

)ためには、少なくとも

(つまり

)である必要があります。
⑨をt で微分すると(合成関数の微分法を参照)、

であれば、

です。導体円板が浮上すること(

)と合わせて、浮上している間の導体円板のy-t グラフは下に凸(関数の凹凸を参照)で、増加する曲線になります。
浮上を続けた導体円板はやがて、上の円形円板に衝突します。衝突した時点で、コンデンサーは[A]と同じ状況となります。この後、導体円板は下降を始めます。
[B]の図で、導体円板は上の円形円板に接触していたところから下降するので、導体円板が下降している間(下の円形極板の上面から導体円板までの距離がdからyになるまで)、導体円板に残る電荷は

です。②は、