東京科学大理工学系物理'25年前期[3]
十分な長さを持つシリンダー内に質量が無視できるピストンがあり、それらにより閉じ込められた気体の状態変化について考える。大気圧を
，気体定数をR，重力加速度の大きさを
とし、以下の設問に答えよ。
[A] 図1のように、断面積Sのシリンダーが水平な床の上に鉛直に固定されている。ピストンはシリンダー内の気体と大気を仕切ることができ、傾くことなく鉛直方向に滑らかに動く。シリンダー底面からピストンの下面までの距離を用いて、ピストンの位置をxと表す。シリンダー、ピストンは断熱材でできている。最初、質量mのおもりを乗せたピストンが
で静止しており、ピストンの下側に温度
の単原子分子理想気体が閉じ込められていた。
(a) シリンダー内の気体の圧力を求めよ。
次に、ピストンに外力を加え、ピストンの位置を
までゆっくりと移動させ、シリンダー内の気体を圧縮した。
(b) ピストンの位置
におけるシリンダー内の気体の温度を求めよ。
(c) この圧縮過程で、シリンダー内の気体がされた仕事を求めよ。
[B] 図2のように、同じ断面積Sを持つシリンダーA，シリンダーBが水平な床の上に鉛直に固定されており、コックと細孔栓のついた細い管でつながっている。ピストンA，ピストンBは、それぞれシリンダーA内、シリンダーB内の気体と大気を仕切ることができ、傾くことなく鉛直方向に滑らかに動く。ピストンAにはおもりが乗っており、ピストンBにはおもりが乗っていない。細孔栓は細孔のあるつめものであり、細孔栓を用いることでシリンダーA内、シリンダーB内の気体の圧力をそれぞれ一定に保ちながら気体を移動させることができる。シリンダー、ピストン、コックと細孔栓のついた細い管は断熱材でできている。シリンダー底面からピストンの下面までの距離を用いて、ピストンAの位置をx，ピストンBの位置をyと表す。最初、コックは閉じられており、ピストンAは
に、ピストンBはシリンダーの底(
)に静止している。ピストンAの下側には温度
の単原子分子理想気体が閉じ込められており、気体の圧力は
である。
次に、コックを開き、ピストンAにかかる力のつり合いを保ちながら、ピストンAをゆっくりと下方に動かした。コックを開いた直後の気体の状態を状態1とよぶ。ピストンAを下方に動かしていく過程において、シリンダーA内の気体の一部が、細孔栓のついた細い管を通ってシリンダーB内に流入し、ピストンBはゆっくりと上方に移動した。このとき、シリンダーA内の気体の温度は
のままであり、ピストンBにかかる力は常につり合っていた。
ピストンAが
から
まで移動したとき、ピストンBは
から
に移動したとする。このとき、シリンダーB内の気体の温度を
，気体全体の内部エネルギーを
とそれぞれ表す。
(d) ピストンBの位置
を、
，
，
，
，S，
，
のうち必要なものを用いて求めよ。
(e) シリンダーA内の気体がされた仕事
，シリンダーB内の気体がした仕事
を、
，
，
，
，
，Sのうち必要なものを用いて求めよ。
(f) シリンダーA，シリンダーBに閉じ込められた気体全体に対して、熱力学第1法則を考える。ピストンAが
から
まで移動したときの内部エネルギーの変化は、
，
を用いて以下のように書ける。 
(1)このことから、シリンダーB内の気体の温度は
(2)と求まる。空欄
，
に当てはまる数式を求めよ。 さらに、ピストンAをシリンダーAの底(
)まで動かしたとき、気体はシリンダーBのみに閉じ込められた。この気体の状態を状態2とよぶ。
(g) 状態1から状態2の過程における仕事
，
は、それぞれ状態1もしくは状態2における気体の温度、圧力、体積により表せる。このことを用いると、温度T，圧力p，体積Vの気体に関して、内部エネルギーUと
の和で表される量 
(3)が、この過程の前後で変化していないことがわかる。T，p，Vのうち必要なものを用いて空欄
を表せ。
また、式(3)は単原子分子理想気体の場合、気体の物質量nを用いて 
(4)と書ける、T，V，Rのうち必要なものを用いて空欄
を表せ。
[C] 設問[B]での設定において、理想気体ではなく、実在の気体(実在気体)を用いて同様の操作を行う。実在気体は、理想気体とは異なり、分子間にはたらく力と分子自身の体積を無視できない。そのため、式(4)に補正が加わり、
(5)が過程の前後で一定に保たれる。ここで、a，bは気体によって決まる正の数であり、nは実在気体の物質量である。
最初、コックは閉じられており、ピストンAは
に、ピストンBはシリンダーの底(
)に静止している。ピストンAの下側には温度
の実在気体が閉じ込められており、その気体の圧力は
である。
次に、コックを開き、ピストンAにかかる力のつり合いを保ちながら、ピストンAをゆっくりと下方に動かした。コックを開いた直後の気体の状態(状態1)から、シリンダーBにのみに閉じ込められた気体の状態(状態2)への過程において、シリンダーA内の気体の温度は
のままであり、ピストンBにかかる力は常につり合っていた。
(h) 過程の前後で
が一定に保たれることを利用することで、状態2におけるシリンダーB内の実在気体の温度
は 
(6)と表される。ここで、
は理想気体を用いた場合の状態2(
)における気体の温度である。状態1，状態2における気体の体積をそれぞれ
，
とし、a，b，n，R，
，
，
のうち必要なものを用いて空欄
を表せ。
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解答 終盤はかなりゴタつきます。(イ)で
となってしまうので、そもそも
であり、(g)が意味不明になりますが、
，
に関するヒントから(ウ)を考えます。
[A](a) ピストンに働く力は、大気圧が下向きにピストンを押す力
，シリンダー内の気体の圧力を
としてこれが上向きにピストンを押す力
，おもりの重力
(下向き)で、これらの力のつり合いより、 
∴ 
......[答]
(b) シリンダー内の気体は断熱材で囲まれているので断熱変化をします。ピストンの位置
におけるシリンダー内の気体の温度を
として、ポアッソンの関係式より、 
∴ 
......[答]
ピストンAが
にいるときのシリンダーA内の気体の量を
として、状態方程式： 
･･･①
断熱変化なので、この圧縮過程で気体が吸収した熱は0，気体がされた仕事をWとして熱力学第1法則より、 ∴ 
(∵ ①) 
(∵ (a))
......[答]
[B] ピストンAが
から
まで移動する間、ピストンAにかかる力のつり合いが保たれているので、シリンダーA内の気体の圧力は
に保たれます。ピストンAが
にいるときのシリンダーA内の気体の量を
として、状態方程式： 
･･･②②÷①より、
∴ 
･･･③
細い管を通ってシリンダーAからシリンダーBに移動した気体の量は、 
･･･④
(d) ピストンBにかかる力のつり合いよりシリンダーB内の気体の圧力は
です。ピストンBの位置が
のときのシリンダーB内の気体の状態方程式： 
･･･⑤⑤÷①より、
∴ 
......[答]
(e) シリンダーA内の気体は圧力
の定圧変化で体積が
→
と変化するので、シリンダーA内の気体がされた仕事
は、 
......[答]シリンダーB内の気体は圧力
の定圧変化で体積が0→
と増加するので、シリンダーB内の気体がした仕事
は、 
......[答]
(f) 気体全体に対して熱力学第1法則を考えると、気体全体で吸収した熱は0で、
∴ 
(1) 
......[ア]
のときシリンダーB内に気体はなく、シリンダーA内の気体の内部エネルギーは、
のときシリンダーA内の気体の量は③の
で、シリンダーB内の気体の量は④の
です。両者の内部エネルギーの和
は、
は(e)の結果、(d)の結果を用いて、
･･･⑥よって、(1)式は以下のようになります。
∴ 
......[イ]
これより、
のとき(1)式は、 となりますが、これを、
とみると、
は
のとき(状態2)の気体の体積
であり、
は
のとき(状態1)の気体の体積
なので、 これより、温度T，圧力p，体積Vの気体に関して、内部エネルギーUと
の和で表される量 
(3)が、状態1→状態2の過程の前後で変化していないことがわかります。(1)式に⑥を入れてみると、
∴ 
となり、
，
を、
のときのシリンダーB内、シリンダーA内の気体の体積と見れば、やはり
は
のときと
のときとで変化しません。 
......[ウ]単原子分子理想気体では
，
となるので、 
......[エ]
[C] 
が一定に保たれるので、 ここで、(イ)の結果より
であること、解答欄の形に注意して、左辺の
の係数と右辺の
の係数が揃うように変形し、 両辺を
で割り、 
......[オ]
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各問題の著作権は
出題大学に属します。なお、解答は、
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(∵ ①)
とすると、
，
(状態1)のとき、
，
(状態2)のとき、
，
は、