東京科学大理工学系物理'25年前期[1]
図1のような円錐状にくり抜かれた台の上における物体の運動について考える。円錐の底面の中心を点O，頂点を点Pとし、線分OPは鉛直方向に沿っているとする。また、円錐の母線が線分OPに垂直な面となす角をθとする。物体は質量mの質点とみなせるものとする。台と物体との間には摩擦があり、静止摩擦係数をμ，動摩擦係数を
とする。台は線分OPを軸として回転することができるが、並進はしないものとする。鉛直下向きの重力加速度の大きさを
とする。以下の設問に答えよ。
[A] 台が回転していない状況を考える。はじめ、物体は線分OPからrだけ離れた台上の点で静止している。
(a) 物体にはたらく摩擦力の大きさf を求めよ。
物体に対して点Pへ向けて指で少しずつ力を加えたところ、物体は指を離れて台に対して初速度0で点Pに向って滑り出し、やがて点Pに到達した。(b) 物体が点Pに到達した際の速さ
を求めよ。
(c) 物体が指を離れてから点Pに到達するまでに摩擦力が物体に対してした仕事Wを、μ，
，m，
，r，θのうち必要なものを用いて表せ。
[B] 物体が線分OPからrだけ離れた台上の点で静止している状態で、図2に示すように、台を真上から見て反時計回りにゆっくりと回転させ始めた。回転の角速度ωを0から少しずつ大きくしたところ、ある角速度
に達した時点で物体は台に対して滑り出した。角速度の時間変化は無視できるものとする。
(d) 角速度ω(
)で台を回転させている際に、物体にはたらく垂直抗力の大きさNを求めよ。 
(e) 台上の観測者から見て物体が滑り出す向きとして、最も適当なものを図3の①～⑧より1つ選べ。なお、②，④，⑥，⑧はそれぞれ、①と③，③と⑤，⑤と⑦，⑦と①に挟まれた任意の向きを示す。
(f) 物体が台に対して滑り出した時点における台の回転の角速度
を求めよ。
[C] 物体が線分OPからrだけ離れた台上の点で静止している。微小な時間
に対し
の割合で回転の角速度ωを0から大きくしながら台を真上から見て反時計回りに回転させ始めたところ、回転させ始めると同時に物体は台に対して滑り出した。
(g) 微小な時間
における、線分OPからrだけ離れた台上の点の速さの変化
を求めよ。
(h) 台上の観測者から見て物体が滑り出す向きとして、最も適当なものを図3の①～⑧より1つ選べ。なお、②，④，⑥，⑧はそれぞれ、①と③，③と⑤，⑤と⑦，⑦と①に挟まれた任意の向きを示す。
(i) 回転させ始めると同時に物体が台に対して滑り出すために、
が満たすべき条件を不等式で示せ。
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解答 すり鉢状の回転台を回転させたときに、斜面上の物体が滑り出す状況を考察する問題です。
[A](a) 鉛直下向きの重力
の斜面に沿う方向成分は
です。斜面に沿う方向に、物体に働く力は斜面下向きの
と斜面上向きの静止摩擦力f です。両者の力のつり合いより、 
∴ 
......[答]
(b) 重力
の斜面に垂直な方向成分は
です。斜面が物体に及ぼす垂直抗力Nは、斜面に垂直な方向の力のつり合いより、
∴ 
滑り出した後に、物体に働く摩擦力は、斜面上向きの動摩擦力
です。斜面下向き方向の物体の運動方程式は、加速度をaとして、 
∴ 
∴ 
......[答]
(c) 物体の位置エネルギーの基準を点Pとします。物体が指を離れるとき、物体は点Pよりも
だけ高い位置にあります。このときの物体のエネルギーは位置エネルギー
です。物体が点Pに到達したときのエネルギーは運動エネルギー
です。(b)の結果を用いると、 
......[答]
[B](d) 台を角速度ωで回転させるとき、物体の位置での台の加速度は、軸方向に
となります(等速円運動を参照)。台上で見ると、物体には、軸から外向きに慣性力
が働きます。台上で見て、斜面と垂直方向に物体に働く力は、斜面に向って、垂直抗力
，慣性力のこの方向の成分
，重力のこの方向の成分
，これらのつり合いより、 
∴ 
......[答]
(e) 台上で見て、物体には軸から外向きに慣性力が働くので、滑り出すときには、軸から外向きに滑り出し、滑り出す向きは⑤ ......[答]
(f) 斜面上で見て慣性力を考慮して考えます。
となり滑り出すとき、斜面に沿って物体に働く摩擦力は最大静止摩擦力
(下向き)です。斜面に沿う方向に働く力は他に、重力のこの方向の成分
(下向き)，慣性力のこの方向の成分
(上向き)です。これらのつり合いより、∴ 
......[答]
[C](g) 物体の位置での台の速さ(円軌道の接線方向)をvとすると
なので、r一定より、
......[答]
(h) 物体が滑り出すとき、台上で見て(g)より物体には⑦の方向に慣性力が働きます。重力の斜面に沿う方向の成分は①の方向なので、物体に働く合力は⑧の方向です。台上で見て物体が滑り出す向きは、⑧ .....[答]
(i) (g)より、物体の位置における台の加速度は③方向に、
です。台上で見て、物体には⑦の方向に慣性力
が働きます。回転させ始めると同時に物体が台に対して滑り出すためには、回転させ始めたとき(まだ
で、外向きの慣性力は0です)に物体に働く合力が物体に働く最大静止摩擦力
を越えなければなりません。慣性力
と重力の斜面に沿う方向成分
の合力は
なので、滑り出す条件は、 ∴ 
......[答]
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