東京大学2004年前期物理入試問題
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[1] 図1-1のように水平に対して
の角をなす斜面上に質量Mの直角二等辺三角形の物体Aを斜辺の面が斜面と接するように置く。直角二等辺三角形の等しい2辺の長さをdとする。Aの上面に質量mで大きさの無視できる小さな物体Bを置く。斜面上に原点Oをとり、水平右向きにx軸、鉛直下向きにy軸をとる。はじめ、Aは上面が
となる位置にあり、BはAの上面の右端、すなわち、
の位置にある。空気の抵抗および斜面とAの間の摩擦は無視できるものとする。重力加速度をgとする。
Ⅰ AとBの間の摩擦も無視できる場合に以下の問に答えよ。
(1) 図1-1のようにAの右面に水平左向きに力Fを加えたところ、2つの物体は最初の位置に静止したままであった。Fの大きさを求めよ。
(2) 力Fを取り除いたところ、AとBは運動を開始した。その後、BはA上面の左端に達した。この瞬間のBのy座標を求めよ。
(3) BがA上面の左端に達する直前のBの速さvを求めよ。
Ⅱ 図1-2に示すようにA上面の点Pを境にして右側の表面が粗く、この部分でのAとBの間の静止摩擦係数および動摩擦係数はそれぞれμ，
(ただし、
)である。A上面の点Pより左側は、なめらかなままである。問Ⅰ(1)と同様に、力Fを加えて両物体を静止させた。力Fを取り除いた後の両物体の運動について以下の問に答えよ。 
(1) μが十分に大きい場合、BはA上面を滑り出さず、両物体は一体となって斜面を滑りおりる。このときの両物体のx方向の加速度
とy方向の加速度
を求めよ。(2) μがある値
より大きければBはA上面を滑り出さず、小さければ滑り出す。その値
を求めよ。 [解答へ]
[2] 図2-1に示すように直交座標系を設定する。初速度の無視できる電荷q (
)，質量mの陽子が、y軸上で小さな穴のある電極aの位置から電極a，b間の電圧Vで＋y方向に加速され、z軸に垂直でy軸方向の長さがlの平板電極c，d (
)からなる偏向部に入る。c，d間には＋z方向に強さEの一様な電界がかけられている。これらの装置は真空中にある。電界は平板電極ｃ，dにはさまれた領域の外にはもれ出ておらず、ふちの近くでも電極に垂直であるとし、地磁気および重力の影響は無視できるとして、以下の問に答えよ。
Ⅰ 電極bの穴を通過した瞬間の陽子の速さ
を、V，q，mを用いて表せ。 Ⅱ その後、陽子は直進し、速さ
のままで偏向部に入る。 (1) 陽子が電極cに衝突することなく偏向部を出る場合、その瞬間のz座標(変位)
を、
，q，m，l，Eを用いて表せ。 (2) Eがある値
より大きければ陽子は電極cに衝突し、小さければ衝突しない。その値
を、V，l，hを用いて表せ。 Ⅲ 陽子のかわりにアルファ粒子(電荷
，質量
)を用いて同じV，Eの値で実験を行ったところ、偏向部を出る瞬間のz座標(変位)は
であった。
を
を用いて表せ。 Ⅳ Eの値を
に固定し、電極c，dにはさまれた領域に＋x方向に磁束密度B (
)の一様な磁界をかけ、再び陽子を用いて実験した。 (1) Bをある値
にしたところ、陽子は偏向部を直進し、偏向部を通過するのに時間
を要した。
と
を、
，
，lを用いてそれぞれ表せ。 (2) Bをある値
(
)にしたところ、陽子が偏向部を出る直前のz座標(変位)は、
(
)であった。このときの陽子の速さ
を、q，m，V，
，
を用いて表せ。 (3) Bを
の範囲内で変化させて実験を繰り返し、陽子が偏向部を通過するのに要する時間Tを測定した。このとき、BとTの関係を表すグラフはどのようになるか、図2-2の(ア)～(オ)の中から最も適当なものを一つ選べ。 [解答へ]
[3] 図3のように、二つの容器1，2のそれぞれに1モルの気体1，2を入れ、水平な床に固定する。これらの気体はともに理想気体とする。二つの容器は摩擦なしに水平に動くことのできるピストンAでつながれている。ピストンAの容器1内の底面積は
であり、容器2内の底面積は
である。容器2にはさらに、上下に動くことのできるピストンBがついており、その上に質量mのおもりがのせてある。ピストンBの底面積はSであり、その質量は無視できる。容器1には体積の無視できるヒーターが取り付けられている。ピストンA，Bと容器は熱を通さない。気体は容器の外にもれず、容器の外は真空である。気体定数をR，重力加速度をgとする。
Ⅰ ピストンBが動かないように固定されている場合を考える。
(1) ピストンAが静止している状態において、気体1の圧力
と気体2の圧力
の間に成り立つ関係式を書け。 (2) はじめ気体1の方が気体2より温度が低く、気体1の体積が
，気体2の体積が
であった。ヒーターで気体1を加熱して気体1，2を等しい温度にした。このときの気体2の体積
を、
，
を用いて表せ。 Ⅱ ピストンBが摩擦なく動くことができる場合を考える。ピストンA，Bが静止している状態において、気体1の温度がTであるとき、気体1の体積
を、S，T，R，m，gを用いて表せ。 Ⅲ 問Ⅱの状態から気体Ⅰをヒーターで加熱したところ、気体1の温度は
になり、気体2の温度は変わらなかった。また、ピストンAは右に距離xだけゆっくりと移動し、ピストンBはhだけ上昇した。 (1) 移動距離xを、
，S，hを用いて表せ。 (2) 温度
を、T，R，m，g，hを用いて表せ。 (3) 気体1は単原子理想気体として、ヒーターから加えられた熱量Qを、m，g，hを用いて表せ。 [解答へ]
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より小さい場合に、Bが最初の位置
からA上面の左端に達するまでの軌跡として最も適当なものを図1-3の(ア)～(オ)の中から一つ選べ。ここで
，
，
はそれぞれ、Bの最初の位置、BがA上面の点Pに達した瞬間の位置、BがA上面の左端に達した瞬間の位置を表す。また破線は直線
を示す。