東大物理'04年前期[1]
図1-1のように水平に対して
の角をなす斜面上に質量Mの直角二等辺三角形の物体Aを斜辺の面が斜面と接するように置く。直角二等辺三角形の等しい2辺の長さをdとする。Aの上面に質量mで大きさの無視できる小さな物体Bを置く。斜面上に原点Oをとり、水平右向きにx軸、鉛直下向きにy軸をとる。はじめ、Aは上面が
となる位置にあり、BはAの上面の右端、すなわち、
の位置にある。空気の抵抗および斜面とAの間の摩擦は無視できるものとする。重力加速度をgとする。
Ⅰ AとBの間の摩擦も無視できる場合に以下の問に答えよ。
(1) 図1-1のようにAの右面に水平左向きに力Fを加えたところ、2つの物体は最初の位置に静止したままであった。Fの大きさを求めよ。
(2) 力Fを取り除いたところ、AとBは運動を開始した。その後、BはA上面の左端に達した。この瞬間のBのy座標を求めよ。
(3) BがA上面の左端に達する直前のBの速さvを求めよ。
Ⅱ 図1-2に示すようにA上面の点Pを境にして右側の表面が粗く、この部分でのAとBの間の静止摩擦係数および動摩擦係数はそれぞれμ，
(ただし、
)である。A上面の点Pより左側は、なめらかなままである。問Ⅰ(1)と同様に、力Fを加えて両物体を静止させた。力Fを取り除いた後の両物体の運動について以下の問に答えよ。 
(1) μが十分に大きい場合、BはA上面を滑り出さず、両物体は一体となって斜面を滑りおりる。このときの両物体のx方向の加速度
とy方向の加速度
を求めよ。(2) μがある値
より大きければBはA上面を滑り出さず、小さければ滑り出す。その値
を求めよ。
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解答 簡単な状況設定ですが、しっかり物理的に考察する必要があります。
Ⅰ(1) 右図のように、A＋Bを一体として考えます。静止したままなので、A＋Bに働く力のつり合いの式を立てます。
(2) Bに働く力の水平成分は0です。Bの初速度の水平成分も0です。よって、Bは水平方向には動かず、真下に向かって運動します。
A上面の左端に達したときのBのy座標はd ......[答]
(3) A，B間の垂直抗力はAB間のBの運動方向と垂直に働くから仕事をしません。斜面とAの間の垂直抗力も仕事をしません。従って、A＋Bについて力学的エネルギー保存則が成立します。
A，Bともに等加速度運動するので、両者の加速度の大きさをA，a，(1)→(2)の時間を
とします。 
，
∴ 
......[答]
Ⅱ(1) 斜面に沿う方向に働く力は、重力の斜面に沿う方向の成分：
です。 A+Bの斜面に沿う方向の加速度をaとして、斜面に沿う方向の運動方程式： ∴ 
∴ 
......[答]
水平方向：
，鉛直方向：
これより、
，
滑り出す限界では静止摩擦力は最大静止摩擦力に等しく、
より、
∴ 
......[答]
(3) 
→
ではBは水平方向にも鉛直方向にも等加速度運動します。 Bの水平方向、鉛直方向の加速度成分をa，bとして、
，
これより
を消去して、
，このグラフは直線です。
→
では、鉛直方向は等加速度運動(加速度の大きさを
とします)で水平方向は等速度運動になります。Bが
に達する時刻を
，
におけるBの速度の水平成分、鉛直成分を
，
，
の座標を
として、Bの位置
は、 これより
を消去して、
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より小さい場合に、Bが最初の位置
からA上面の左端に達するまでの軌跡として最も適当なものを図1-3の(ア)～(オ)の中から一つ選べ。ここで
，
，
はそれぞれ、Bの最初の位置、BがA上面の点Pに達した瞬間の位置、BがA上面の左端に達した瞬間の位置を表す。また破線は直線
を示す。
......[答]
，
より、
(2) Aの斜面に沿う方向の加速度は下向きに
で、右図のように、A上で見て、Bは斜面に沿って上向きに慣性力
を受けます。
のとき、滑り出す限界になりますが、滑り出す限界において、A上で見てBはまだ動いていないので、Bに働く力のつり合いが成立します。Bが受ける静止摩擦力の大きさをf，垂直抗力の大きさを
として、力のつり合いの式は、
→
が直線で、
→
が上に凸な放物線になっているグラフは(イ) ......[答]
→
ではBは水平方向にも鉛直方向にも等加速度運動，
→
では、鉛直方向は等加速度運動で水平方向は等速度運動(一種の斜方投射)というところからグラフを選択できるでしょう。