東大物理'04年前期[3]
図3のように、二つの容器1，2のそれぞれに1モルの気体1，2を入れ、水平な床に固定する。これらの気体はともに理想気体とする。二つの容器は摩擦なしに水平に動くことのできるピストンAでつながれている。ピストンAの容器1内の底面積は
であり、容器2内の底面積は
である。容器2にはさらに、上下に動くことのできるピストンBがついており、その上に質量mのおもりがのせてある。ピストンBの底面積はSであり、その質量は無視できる。容器1には体積の無視できるヒーターが取り付けられている。ピストンA，Bと容器は熱を通さない。気体は容器の外にもれず、容器の外は真空である。気体定数をR，重力加速度をgとする。
Ⅰ ピストンBが動かないように固定されている場合を考える。
(1) ピストンAが静止している状態において、気体1の圧力
と気体2の圧力
の間に成り立つ関係式を書け。 (2) はじめ気体1の方が気体2より温度が低く、気体1の体積が
，気体2の体積が
であった。ヒーターで気体1を加熱して気体1，2を等しい温度にした。このときの気体2の体積
を、
，
を用いて表せ。 Ⅱ ピストンBが摩擦なく動くことができる場合を考える。ピストンA，Bが静止している状態において、気体1の温度がTであるとき、気体1の体積
を、S，T，R，m，gを用いて表せ。 Ⅲ 問Ⅱの状態から気体Ⅰをヒーターで加熱したところ、気体1の温度は
になり、気体2の温度は変わらなかった。また、ピストンAは右に距離xだけゆっくりと移動し、ピストンBはhだけ上昇した。 (1) 移動距離xを、
，S，hを用いて表せ。 (2) 温度
を、T，R，m，g，hを用いて表せ。 (3) 気体1は単原子理想気体として、ヒーターから加えられた熱量Qを、m，g，hを用いて表せ。
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解答 東大物理でよく見られる、数多くの条件をどう取捨選択して使い回して行くか、というところに頭を使う問題です。気体の問題としては難問ではありません。なお、理想気体を参照してください。
Ⅰ(1) 気体1，気体2の圧力を
，
とします。 ピストンAは、気体1から右向きに力
を受け、気体2から左向きに力
を受けます。
ピストンAに働く力のつり合い：
∴ 
......[答]
(2) 状態方程式と力のつり合いを考えるだけでは条件が不足します。問題文の先の方を読んでみると、ⅢでピストンAが右に距離x動く、という記述があります。ピストンの移動距離に着目してみます。
気体1を加熱したとき、ピストンAが右(気体1は温度上昇しているから膨張する)にx動くとします。気体1の体積は
から
増加して
になり、気体2の体積は
から
減少して
になったとします。 加熱後の気体1の圧力を
，気体1と気体2の絶対温度をTとして、
気体1の状態方程式：
･･･②，気体2の状態方程式：
･･･③
また、ピストンAに働く力のつり合いより、
･･･④
②，③，④より、
これを①に代入すると、
∴ 
......[答]
Ⅱ ここでも、ピストンAに働く力のつり合いから、気体1と気体2の圧力
，
の間に、
という関係が成立します。 ピストンBに働く力のつり合い：
∴ 
∴ 
気体1の状態方程式：
･･･⑤
∴ 
......[答]
Ⅲ 余程の自信がある人でない限り、こういう問題は、はじめから上手にやろうとすると失敗します。手の着くところ順々に攻めていきます。
まず気体2を考えます。気体2は、温度が変わらないので内部エネルギーは変化しません。
気体2では熱のやりとりもないので、熱力学第一法則より、ピストンAからされた仕事はそのままピストンBを持ち上げる仕事になります。
ということは、気体2の状態は何も変化しないということです。つまり、気体
2の圧力、体積は、一定値、
，
のままと考えられます。
さらに、ピストンAに働く力のつり合いより、気体1の圧力は一定で、気体1が定圧変化をしていることがわかります。
(1) 気体2の体積について：
∴ 
......[答]
(2) (1)の結果を用いると、加熱後の気体1の体積は、
気体1の圧力を
として、加熱後の気体1の状態方程式：
･･･⑥
⑥÷⑤より、
(シャルルの法則)∴ 
......[答] (3) 気体1は定圧変化をしているので、定圧モル比熱の式を利用します(モル比熱を参照)。 単原子分子理想気体では、定積モル比熱は
，定圧モル比熱は
です。
気体1について、定圧モル比熱の式により、ヒーターから加えられた熱量Qは、 
......[答]
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