東大物理'04年前期[2]
図2-1に示すように直交座標系を設定する。初速度の無視できる電荷q ()，質量mの陽子が、y軸上で小さな穴のある電極aの位置から電極a，b間の電圧Vで＋y方向に加速され、z軸に垂直でy軸方向の長さがlの平板電極c，d ()からなる偏向部に入る。c，d間には＋z方向に強さEの一様な電界がかけられている。これらの装置は真空中にある。電界は平板電極ｃ，dにはさまれた領域の外にはもれ出ておらず、ふちの近くでも電極に垂直であるとし、地磁気および重力の影響は無視できるとして、以下の問に答えよ。
Ⅰ　電極bの穴を通過した瞬間の陽子の速さを、V，q，mを用いて表せ。
Ⅱ　その後、陽子は直進し、速さのままで偏向部に入る。
(1) 陽子が電極cに衝突することなく偏向部を出る場合、その瞬間のz座標(変位)を、，q，m，l，Eを用いて表せ。
(2) Eがある値より大きければ陽子は電極cに衝突し、小さければ衝突しない。その値を、V，l，hを用いて表せ。
Ⅲ　陽子のかわりにアルファ粒子(電荷，質量)を用いて同じV，Eの値で実験を行ったところ、偏向部を出る瞬間のz座標(変位)はであった。をを用いて表せ。
Ⅳ　Eの値をに固定し、電極c，dにはさまれた領域に＋x方向に磁束密度B ()の一様な磁界をかけ、再び陽子を用いて実験した。
(1) Bをある値にしたところ、陽子は偏向部を直進し、偏向部を通過するのに時間を要した。とを、，，lを用いてそれぞれ表せ。
(2) Bをある値 ()にしたところ、陽子が偏向部を出る直前のz座標(変位)は、 ()であった。このときの陽子の速さを、q，m，V，，を用いて表せ。
(3) Bをの範囲内で変化させて実験を繰り返し、陽子が偏向部を通過するのに要する時間Tを測定した。このとき、BとTの関係を表すグラフはどのようになるか、図2-2の(ア)～(オ)の中から最も適当なものを一つ選べ。


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解答　Ⅳでローレンツ力の向きが方向からずれるので、少し考えなければいけませんが、エネルギー的考察で解決できます。

Ⅰ　陽子はa-b間の電界よりエネルギーを受け取って加速され、速さとなります。エネルギーの原理より、
∴ ......[答]

Ⅱ(1) 電極b通過後、陽子は、y方向に力を受けないので、y方向では等速度運動します。速さで距離l進む時間は、
z方向の陽子の加速度成分をaとして、この方向の運動方程式：
∴
z方向の陽子の運動は等加速度運動で、時間の間に進む距離は、
......[答]

(2) 陽子が電極cに衝突しないために、
(1)の結果を代入して、
∴
......[答]

Ⅲ　Ⅱ(1)の結果に、Ⅰの結果を代入すると、
･･･①
陽子がアルファ粒子に代わると、のとき、，となるが、①式は、q，mを含まないので、陽子がアルファ粒子に代わっても、変位は変化しません。よって、 ......[答]

Ⅳ(1) 陽子が偏向部を直進したということは、陽子に働く力のz成分が0になったということです。陽子が受けるローレンツ力は、大きさで、フレミング左手の法則より、z軸負方向を向きます。
陽子に働く力のz方向のつり合い：
∴ ......[答]
偏向部を通過する時間は、磁界のない場合(Ⅰの)と同じです。
∴ ......[答]

(2) 磁界が及ぼすローレンツ力と、電界が及ぼす力の合力は、向きが絶えず変化するので、この問題は、運動方程式を立てても解くことができません。そこでエネルギーを考えます。
ローレンツ力はつねに陽子の速度と垂直なので、陽子に対して仕事をしません。陽子に仕事をするのは電界だけです。
電界が陽子に及ぼす力により、だけ変位するので、電界が陽子にする仕事は、
エネルギーの原理より、
∴ ......[答]

(3) のとき、Ⅰより、
のとき、Ⅳ(1)より、
においては、右図のように、速度に垂直にローレンツ力が働き、このローレンツ力のy成分によって、陽子の速さが増大するから、偏向部を通過する時間は短くなります。よって、グラフは、(ア) ......[答]　を選びます。


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