東大物理'09年前期[2]
図2のように、紙面内の上から下向き(x軸の正の向き)に重力(重力加速度の大きさg)がはたらき、紙面に垂直に裏から表の向きに一様な磁場(磁束密度の大きさB)が、EFとGHの間の領域だけに加えられている。EFとGHは水平である。抵抗R，質量mの一様な導線を一巻きにして作った高さa，幅bの長方形のコイルABCDを、磁場のある領域の上方から落下させる。その際、ABCDは紙面内にあり、BCがx軸と平行となるように、常に姿勢を保つようにした。EFとGHの距離はコイルの高さaに等しい。導線の太さはaやbに比べ十分小さく、EFはbに比べ十分長いものとする。また、自己誘導や空気抵抗は無視し、地面との衝突は考えないものとする。
Ⅰ 時刻
に、ABとEFの距離がhとなる位置から初速度0でコイルを落下させた。 (1) ABがEFに到達する時刻
と、その時のコイルの速さ
をhを用いて表せ。 (2) ABがGHに到達する時刻を
とする。ある時刻t (
)に、コイルが速さvで落下しているとする。このとき、コイルにはたらく合力(x軸の正の向きを正とする)をvを用いて表せ。 (3) ABがEFに到達する時のコイルの速さ
の値によって、時刻
から
の間にコイルが加速する場合と減速する場合がある。それぞれの場合における、
の条件を記せ。 Ⅱ 時刻
から
の間コイルが等速度で落下するように、時刻
におけるコイルの位置をうまく調整してから、初速度0で落下させた。 (1) この場合の、時刻
におけるABとEFの距離と時間
を求めよ。 (2) 時刻
から
の間に、コイルで消費される電力Pと熱として発生するエネルギーWを求めよ。
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解答 頻出パターンで難しくはありませんが、包括的にいろいろなことを問うているので、しっかり勉強してきた受験生でなければ正解できないでしょう。
(2) 時刻
におけるABの位置を
とします。 コイルに電流が流れるので、コイルの、磁場内に侵入している部分は磁場から力を受けます。時刻tのときのABのx座標をxとすると、コイルの囲む長方形のうち磁場内に侵入している部分の面積Sは、幅b，高さ
の長方形の面積として、 面積Sの部分を貫く磁束Φは、
フレミング右手の法則より、運動方向(x軸正方向)が親指の向き、磁場の方向が(コイル面の向こうからこっち向き)人差し指の向き、として、起電力の向きは中指の向き、つまり、B→Aの方向に電流を流す向きです。
コイルに流れる電流の大きさIは、オームの法則により、 コイルの辺BAに磁場が及ぼす力の向きを調べます。フレミング左手の法則より、磁場の方向を人差し指の向き、電流の向き(B→Aの向き)を中指の向き、として、辺BAに磁場が及ぼす力の向きは親指の向き、つまり、x軸負方向になります。
長さbの辺BAに磁場が及ぼす力の大きさFは、 コイルの辺CB，AD部分には、互いに逆向きで同じ大きさの力が働くので打ち消し合います。
コイルに働く力の合力は、x軸正方向に働く重力
と、x軸負方向に働くFとの合力になり、 
......[答](3) 
の間にコイルが加速するのは
のときで、減速するのは
のときです。
の符号はコイルが磁場中を通過している間には変わらず(例えば、コイルが加速してv→大のときでも、
→0となるだけです)、ABがEFに到達した時点(
)の符号で決まります。 従って、加速する条件は、
において
より、 
......[答]減速する条件は、
において
より、 
......[答]
Ⅱ 
の間にコイルが等速度で落下するように調整した、と、問題文が言っているのは、
のときのコイルの位置を、
，つまり、
となるようにした、という意味です。 (1) 
のとき、
において
でコイルの速度は
のままになります。従って、ABがEFに到達してからGHに到達するまでの時間
は、 
......[答](2) 
にコイルで消費される電力Pは、 
......[答]熱として発生するエネルギーWは、
......[答] (EF→GHの間に失われる重力の位置エネルギーに相当します)
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とする。時間
を求めよ。また、落下開始から、磁場のある領域を十分離脱するまでの、コイルの速さの時間変化を表すグラフを描け。グラフには、
(具体的な式は不要)と、それらの時刻における速さの式を記せ。
......[答]
......[答]
(3) 
でも、
のときに辺ABに働いていたのと同じ力(向きはやはりx軸負方向)を磁場がコイルの辺DCに及ぼします。従って、
の間もコイルは速度
で等速度運動を続けます。辺DCが磁場を抜けてしまうと、
では、コイルは磁場から力を受けなくなって自由落下に戻り、加速度gで速度は増大を続けます。コイルの速さの時間変化を表すグラフは右図。
の間に距離