東大物理'12年前期[2]
図2-1のように、xy平面上に置かれた縦横の長さがともに
の回路を一定の速さvでx軸正方向に動かす。回路の左下の点Pと右下の点Qは常にx軸上にあり、点Qの座標を
とする。磁束密度Bの一様な磁場が、
の領域にのみ紙面に垂直にかけられている。導線の太さ、抵抗およびコンデンサーの素子の大きさ、導線の抵抗および回路を流れる電流が作る磁場の影響は無視できるものとして、以下の設問に答えよ。
Ⅰ まず、図2-1に示した抵抗値Rの抵抗と導線からなる正方形の回路を用いる。
(1) 
のときに回路を流れる電流の大きさを求めよ。 (2) 
のときに回路が磁場から受ける力のx成分を求めよ。 (3) 
のときに回路が磁場から受ける力のx成分を求めよ。 Ⅱ 次に、設問Ⅰで用いた回路を複数の抵抗を含む回路に取り替える。
(1) 図2-2に示した抵抗値Rの抵抗を2つ含む回路を用いた場合に対して、
のときにPQ間の導線を流れる電流の大きさを求めよ。 (2) 図2-3に示した抵抗値Rの抵抗を3つ含む回路を用いた場合に対して、
のときにPQ間の抵抗を流れる電流の大きさを求めよ。
Ⅲ 最後に、図2-4に示した電気容量Cのコンデンサーと導線からなる回路を用いる。
(1) 
のときに導線を流れる電流の大きさを求めよ。 (2) 
のときに回路が磁場から受ける力のx成分を求めよ。
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解答 東大物理で電気回路の問題が出題されるのは珍しいことですが、過去問に見当たらない分野もしっかり勉強しておいて欲しいというメッセージでしょう。
回路の頂点をQから反時計回りにR，S，Pとします。
Ⅰ(1) 
のとき、回路中で磁場の中に侵入している部分の面積Sは、
回路を貫く磁束Φは、
電磁誘導の法則より、回路に生じる起電力Vは、
(レンツの法則より、起電力の向きは、回路に時計回りに電流を流す向きです)オームの法則より、回路に流れる電流の大きさは、
......[答]
(2) 
のとき、回路の内、PQの部分を流れる電流に働く力の向きは、フレミング左手の法則より、y軸正方向で、x軸方向に働く力は、回路右側の辺QRの磁場中の部分に生じます。この部分の長さはXで、この部分が磁場から受ける力の向きはx軸負方向、力の大きさは、 回路が磁場から受ける力のx成分
は、
......[答]
(3) 
のとき、回路中で磁場の中に侵入している部分の面積Sは、 回路を貫く磁束Φは、
回路に生じる起電力Vは、
(
)回路に流れる電流Iは、
回路左側の辺SPで磁場中にある部分の長さは
，この部分が磁場から受ける力はx軸正方向で、回路右側の辺QRは全て磁場中にあり、この部分が磁場から受ける力はx軸負方向。
回路が磁場から受ける力のx成分
は、 
......[答]
Ⅱ 正方形の回路PQRS内に入れた抵抗の両端を右側をT，左側をUとします。
のとき、回路PQRS中で磁場の中に侵入している部分の面積は
なので、Ⅰ(1)で検討したように、この部分に発生する起電力は
(向きは回路に時計回りに電流を流す方向)です。
回路TRSU中で磁場の中に侵入している部分の面積
は
で、この部分を貫く磁束
は
，回路TRSUに生じる起電力
は、
(向きは回路に時計回りに電流を流す方向。
)以下では、辺PQをQ→Pの向きに流れる電流を
，辺TUをT→Uの向きに流れる電流を
とします。辺RSをS→Rの向きに流れる電流は
です。
･･･①回路TSRUにおいて、キルヒホッフ第2法則より、
･･･②①より、
，これを②に代入して、 
，
∴ 
......[答]
(2) 起電力の状況は(1)と同じです。回路PQRSにおいて、キルヒホッフ第2法則より、
･･･③回路TSRUにおいて、キルヒホッフ第2法則より、
･･･④①より、
，これを②に代入して、 
，
∴ 
......[答]
Ⅲ(1) 
のとき、Ⅰ(1)より、回路に生じる起電力は
，コンデンサーに蓄えられる電荷Qは、
電流の大きさは、
......[答]
(2) 
のとき、Ⅰ(3)より、回路に生じる起電力は
，コンデンサーに蓄えられる電荷Qは、
回路に流れる電流は、
負になる、ということは、Ⅰ(3)とは逆向きに流れるということで、回路が磁場から受ける力の向きも逆になり、x軸正方向になります。回路が磁場から受ける力のx成分
は、
......[答]
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