東大物理'13年前期[2]
電荷をもった粒子の運動を磁場により制御することを考える。重力の効果は無視できるものとして、以下の設問に答えよ。ただし、角度の単位はすべてラジアンとする。また、θ を微小な角度とするとき、
，
，
と近似してよい。
Ⅰ 図2－1のように、
の領域
にのみ、磁束密度がy座標にゆるやかに依存する磁場がz軸方向(紙面に垂直、手前向きを正)にかけられている。質量m，正の電荷qをもつ粒子Pを、x軸正方向に速さvで領域
に入射する。 (1) 領域
を通過した結果、粒子Pの運動方向が微小な角度だけ曲がり、そのx軸からの角度がθ となった。領域
内を通過する間、粒子のy座標の変化は小さく、粒子に働く磁束密度Bはその間一定としてよいとする。このときのθ を求めよ。以後、角度の向きは図2－1の矢印の向きを正とする。 
(3) 図2－2(a)のように配置された電磁石の組の点線で囲まれた範囲(拡大図と座標を図2－2(b)に示す)を考える。鉄芯(しん)を適切な形に制作すると、
の平面内で(2)のような磁場が実現できる。このとき、二つの電磁石に流す電流
，
の向きはどうするべきか。それぞの符号を答えよ。ただし、図中の矢印の向きを正とする。
Ⅱ 次に、Ⅰ(2)の領域に加えて、図2－3のように、
を中心とし幅dの範囲に、z軸方向に磁束密度
(kは定数)の磁場がかかっている領域
を考える。ここで、領域
と
を両方通過した後の粒子の運動方向の変化は、それぞれの領域でⅠ(1)のように求めた曲げ角の和として計算できるものとし、またdはf に比べて無視できるほど小さいとしてよいとする。粒子Pと、同じ電荷qをもつ別の粒子Qとが、x軸正方向に速さvをもって
で領域
に別個に入射したところ、粒子Pの運動方向が微小な角度
，粒子Qの運動方向が角度
だけ曲げられて、それぞれ領域
に入射した。(1) 粒子Qの質量を求めよ。
(2) 粒子P，粒子Qが領域
に入る際のy座標は、それぞれ
の何倍となるか。 (3) 粒子P，粒子Qが領域
を通過した後の運動方向のx軸からの角度を、それぞれkと
を用いて表せ。 (4) kの値を調整すると、粒子Pと粒子Qが
でx軸上のの同じ点を通過するようにできる。このときのkの値を求めよ。
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解答 最後は単に計算するだけの問題になってしまいますが、磁気に関する基本問題です。
Ⅰ(1) 粒子Pの運動方向を左手中指、磁場の向きを人差し指、とすると左手親指(電磁力の向き)はy軸負方向を向きます(フレミング左手の法則を参照)。粒子Pには、y軸負方向に大きさ
の力が働きます。粒子Pが領域
を通過する時間は
なので、粒子Pは領域
を通過する間にy軸負方向に大きさ
の力積を受けます。粒子Pのy軸方向の運動量の変化は、領域
から出てくるときの速度のy成分を
として
です。運動量の原理より、 
∴ 
粒子Pが領域
から出てくるときの速度のx成分はvなので、 
より、
......[答](2) 粒子Pの入射位置のy座標を
として、
より、
......[答]このf は、
に依存せず、粒子Pが領域
に進入するときの
によらず、粒子Pはx軸上の同じ点を通ります。 (3) 図2－2(b)の断面図において、(2)と同様の磁場(
の部分にz軸正方向、
の部分にz軸負方向を向く磁場)を実現するためには、左側の鉄芯の上側をN極、下側をS極、右側の鉄芯の上側をS極、下側をN極とすればよいわけです。 右ねじの法則より、左側には
，右側には
となる電流を流すことになります。
：正、
：負 ......[答]
Ⅱ(1) 粒子Pの角度について、
における磁束密度
とⅠ(1)より
粒子Qの質量を
として、粒子のQの角度について、
∴ 
......[答] (2) 粒子P，粒子Qが領域
に入る際のy座標を
，
とすると、
として、 ∴ 
∴ 
P：
倍，Q：
倍 ......[答] (3) 粒子Pが領域
を通過した後の運動方向のx軸からの角度
は、Ⅰのθ で
として、 
......[答]粒子Qが領域
を通過した後の運動方向のx軸からの角度
は、Ⅰのθ で
として、 
......[答](4) 粒子Pの運動方向がx軸と交わる位置と
との距離は、 粒子Qの運動方向がx軸と交わる位置と
との距離は、 両者が一致することから、
∴ 
......[答]
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内の磁束密度がy座標に比例し、正の定数bを用いて
と表されるとき、粒子Pは入射時のy座標によらずx軸上の同じ点
を通過する。このときf を求めよ。ただし、dはf に比べて無視できるほど小さいとする。また、領域
内を通過する間、粒子のy座標の変化は小さく、粒子に働く磁束密度Bはその間一定としてよいとする。
