東京大学2022年前期物理入試問題

[1]
 地球表面上の海水は、地球からの万有引力の他に、月や太陽からの引力、さらに地球や月の運動によって引き起こされる様々な力を受ける。これらの力の一部が時間とともに変化することで、潮の満ち干が起こる(潮汐運動)。ここでは、地球の表面に置かれた物体に働く力について、単純化したモデルで考察しよう。なお、万有引力定数をGとし、地球は質量で密度が一様な半径Rの球体とみなせるとする。以下の設問T,U,Vに答えよ。

T 地球の表面に置かれた物体は地球の自転による遠心力を受ける。地球の自転周期をとするとき、以下の設問に答えよ。

(1) 質量mの質点が赤道上のある地点Eに置かれたときに働く遠心力の大きさ,および北緯のある地点Fに置かれたときに働く遠心力の大きさを求め、それぞれmRを用いて表せ。

(2) 設問T(1)の地点Eにおける、地球の自転による遠心力の効果を含めた重力加速度を求め、GRを用いて表せ。

U 次に、月からの引力と、月が地球の周りを公転運動することによって発生する力を考える。ここではこれらの力についてのみ考えるため、地球が自転しないという仮想的な場合について考察する。
月が地球の周りを公転するとき、地球と月は、地球と月の重心である点Oを中心に同一周期で円運動すると仮定する(1-1)。なお、図1-1において、この円運動の回転軸は紙面に垂直である。月は質量の質点とし、地球の中心と月との距離をaとする。また、地球の中心および月から点Oまでの距離をそれぞれとする。以下の設問に答えよ。

(1) Oから見た地球の中心および月の速さをそれぞれとする。およびaGを用いて表せ。
(2) Oを原点として固定したxy座標系を、図1-2(a)のように紙面と同一平面にとる。時刻において、座標がである地球表面上の点を点Xとする。月の公転周期をとするとき、時刻t における点Xの座標を、Rt を用いて表せ。ただし、地球の自転を無視しているため、時刻以降で図1-2(b)(c)のように位置関係が変化することに注意せよ。


(3) 設問U(2)の点Xに、およびに比して十分に小さい質量mの質点が置かれているときを考える。この質点について、地球が点Oを中心とした円運動をすることで生じる遠心力の大きさを求め、Gmaを用いて表せ。

(4) ある時刻において、地球表面上で月から最も遠い点をP,月に最も近い点をQとする。質量mの質点を点Pおよび点Qに置いた場合に、質点に働く遠心力と月からの万有引力の合力の大きさをそれぞれとする。GmaRを用いて表せ。また、点Pおよび点Qにおける合力の向きは月から遠ざかる方向か、近づく方向かをそれぞれ答えよ。

V さらに、太陽からの引力と、地球の公転運動によって発生する力について考える。これらの力についても設問Uと同様に考えられるものとする。なお、地球と太陽の重心を点とする。太陽は質量の質点とし、地球の中心と太陽の距離をbとする。
1-3のように、ある時刻において地球表面上で太陽から最も遠い点をSとする。質量mの質点が点Sに置かれたとき、地球が点を中心とした円運動をすることで生じる遠心力と太陽からの万有引力の合力の大きさをとする。設問U(4)で求めたに対するの比は以下のように見積もることができる。
には連続する1桁の数字が入る。表1-1の中から必要な数値を用いて計算し、に入る数字を答えよ。
1-1
地球の質量
月の質量
太陽の質量
地球の中心と月との距離a
地球の中心と太陽との距離b
地球の半径R
万有引力定数G

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[2] 図2-1のように、水平なxy平面上に原点Oを中心とした長円形のレールがあり、斜線で示されたの領域には鉛直上向き方向に磁束密度の大きさがBの一様な磁場が加えられている。レール上に木製の台車があり、コイルを含む回路が台車に固定されている。コイルはxy平面に平行な正方形で、一辺の長さはL,ただし、とする。コイルの四つの辺は台車の進行方向に対して平行または垂直である。上から見たとき台車とコイルの中心は一致しており、回路を含む台車の質量はmである。レールの直線部は台車の大きさに比べて十分長いものとし、区間上のの点をとする。
台車が点を速さ
x軸の正の方向(図の右方向)に出発し、その後、台車の中心が最初にを通過した瞬間の速さをそれぞれとする。に比べて速さの変化は十分に小さい。また、とする。コイルの右辺が磁場に進入する瞬間と磁場から出る瞬間の台車の中心位置をそれぞれとする。同様に、左辺が磁場に進入する瞬間と出る瞬間の台車の中心位置をそれぞれとする。台車に働く摩擦力や空気抵抗、コイル自身の電気抵抗は無視できる。

T 図2-2のように、回路が正方形の一巻きコイルと抵抗値Rの抵抗からなる場合に、台車が最初に区間を走る時の運動を考える。

(1) 台車の中心がからへ移動する運動について、以下のに入る式をLdBmRのうち必要なものを用いて表せ。磁束の符号は鉛直上向きを正とする。

速さに比べて速さの変化が十分に小さいため、台車が間を移動するのにかかる時間はと近似できる。移動の前後でのコイルを通る磁束の変化量であり、この間の誘導起電力の平均値はと書くことができる。移動中に誘導起電力がで一定であると近似すると、この間に抵抗で発生するジュール熱の総和はと書ける。

(2) LdBmRのうち必要なものを用いて表せ。

U 正方形の一巻きコイルに、抵抗値Rの抵抗、起電力Vで内部抵抗の無視できる電池、理想的なダイオードが接続された回路を台車に載せて走らせる。理想的なダイオードとは、順方向には抵抗なしに電流を通し、逆方向には電流を流さない素子である。図2-3は、区間を走る台車を上から見たものである。を出発した台車は磁場を通過することにより減速した。

台車が最初に区間を走る時の運動について、LdBmRVのうち必要なものを用いて設問(1)(3)に答えよ。ただし、設問Tと同様の近似を用いることができるものとする。

(1) 台車の中心がからへ移動する間にコイルに流れる電流の大きさを求めよ。

(2) この電流によりコイルが磁場から受けるローレンツ力を求めよ。力の符号は、x軸正の向きを正とする。

(3) 同様に、台車の中心がからへ移動する間のローレンツ力を求めよ。

台車はレール上を繰り返し回りながら徐々に速度を下げ、やがて一定の速さで運動するようになった。設問(4)(5)に答えよ。
(4) n回目にを通り抜けた時の台車の運動エネルギーnの関数としてグラフに描いた場合、図2-4の@〜Cのどの形が最も適切か答えよ。


(5) 速さLdBmRVのうち必要なものを用いて表せ。

V 2本の正方形一巻きコイルと接続パネルからなる回路を台車に載せて走らせる。図2-5は区間を走る台車を上から見たものである。2本のコイルの両端は接続パネルの端子ABCDに接続されている。接続パネルは図2-6に示すような抵抗と理想的なダイオードからなる回路である。設問Tと同様の近似を用いることができるものとし、台車が最初に区間を走る時の運動について、以下の設問に答えよ。2本のコイルは上から見たときに完全に重なっているとみなすことができ、接続パネル以外の部分では互いに絶縁されている。また、接続パネルの大きさは無視できるものとする。

(1) 端子Dの電位をゼロとする。台車の中心が間を移動する間の端子ABの電位をそれぞれ求め、LdBmのうち必要なものを用いて表せ。

(2) 抵抗の抵抗値を満たしながらの範囲で値を調節することができる。区間を通り過ぎた後の台車の速さの変化LdBmのうち必要なものを用いて表せ。また、が最小となるようなを求め、Rを用いて表せ。

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[3] 図3-1のようにピストンのついた断面積一定のシリンダーがある。ピストンには棒がついており、気密を保ちながら鉛直方向に滑らかに動かすことができる。シリンダーとピストンで囲まれた空間は、シリンダー内のある位置に水平に固定された特殊な膜によって領域1と領域2に仕切られている。領域1と領域2には合計1モルの単原子分子理想気体Xが、領域2には気体Xのほかに1モルの単原子分子理想気体Yが入っている。図3-2のように気体Xの分子は膜を衝突せず通過できるのに対し、気体Yの分子は膜を通過できない。シリンダーとピストンで囲まれた空間の外は真空であり、膜の厚さや、膜、シリンダー、ピストンの熱容量、気体分子に対する重力の影響は無視できる。ピストンは断熱材でできている。気体Xの分子1個の質量を,気体Yの分子1個の質量を,シリンダーの内側の断面積をS,アボガドロ定数を,気体定数をRとする。鉛直上向きにz軸をとる。以下の各過程では気体の状態は十分ゆっくり変化するため、領域1の圧力と領域2の圧力はそれぞれ常に均一であり、気体XYが熱のやりとりをすることでシリンダー内の温度は常に均一であるとみなせる。

以下の設問に答えよ。


T はじめにピストンは固定されており、領域1の体積は,圧力は,領域2の体積は,圧力は,シリンダー内の温度はTであった。気体分子のz方向の運動に注目し、気体XYの分子の速度のz成分の2乗の平均をそれぞれとする。気体Yの分子は、膜に当たると膜に平行な速度成分は一定のまま弾性衝突してはね返されるとする。同様に、気体XYの分子はピストンおよびシリンダーの面に当たると面に平行な速度成分は一定のまま弾性衝突してはね返されるとする。分子間の衝突は考慮しなくてよいほど気体は希薄である。

(1) ピストンが気体Xから受ける力の大きさの平均をとする。を、Sのうち必要なものを用いて表せ。

(2) シリンダーの底面が気体XYから受ける合計の力の大きさの平均をとする。を、Sのうち必要なものを用いて表せ。

(3) ボルツマン定数をkとして、各分子は一方向あたり平均しての運動エネルギーを持つ。を、RTのうち必要なものを用いて表せ。

(4) 気体XYの内部エネルギーの合計を、RTを用いて表せ。

U 次にピストンを設問Tの状態からわずかに押し下げたところ、領域1の体積がからに、領域1の圧力がからに、領域2の圧力がからに、シリンダー内の温度がTからに変化した。この過程で気体と外部の間で熱のやりとりはなかった。以下の設問では、はそれぞれTより十分小さな正の微小量とし、微小量どうしの積は無視できるとする。

(1) 温度変化を、Rを用いて表せ。

(2) が成り立つ。に入る数を求めよ。

V 設問Tの状態からピストンについている棒を取り外し、おもりをシリンダーに接しないようにピストンの上に静かに乗せたところ、領域1と領域2の体積、圧力、温度に変化はなかった。さらに図3-3のようにヒーターをシリンダーに接触させ気体を温めたところ、ピストンがゆっくり押し上がった。領域1の体積がになったところでヒーターをシリンダーから離した。

(1) このときのシリンダー内の温度を、Tを用いて表せ。

(2) 気体XYが吸収した熱量の合計を、RTを用いて表せ。
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