東京大学2022年前期物理入試問題

東京大学2022年前期物理入試問題

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

[1]　地球表面上の海水は、地球からの万有引力の他に、月や太陽からの引力、さらに地球や月の運動によって引き起こされる様々な力を受ける。これらの力の一部が時間とともに変化することで、潮の満ち干が起こる(潮汐運動)。ここでは、地球の表面に置かれた物体に働く力について、単純化したモデルで考察しよう。なお、万有引力定数をGとし、地球は質量

で密度が一様な半径Rの球体とみなせるとする。以下の設問Ⅰ，Ⅱ，Ⅲに答えよ。

Ⅰ　地球の表面に置かれた物体は地球の自転による遠心力を受ける。地球の自転周期を

とするとき、以下の設問に答えよ。

(1) 質量mの質点が赤道上のある地点Eに置かれたときに働く遠心力の大きさ

，および北緯

のある地点Fに置かれたときに働く遠心力の大きさ

を求め、それぞれm，R，

を用いて表せ。

(2) 設問Ⅰ(1)の地点Eにおける、地球の自転による遠心力の効果を含めた重力加速度

を求め、G，

，R，

を用いて表せ。

Ⅱ　次に、月からの引力と、月が地球の周りを公転運動することによって発生する力を考える。ここではこれらの力についてのみ考えるため、地球が自転しないという仮想的な場合について考察する。

月が地球の周りを公転するとき、地球と月は、地球と月の重心である点Oを中心に同一周期で円運動すると仮定する(図1-1)。なお、図1-1において、この円運動の回転軸は紙面に垂直である。月は質量

の質点とし、地球の中心と月との距離をaとする。また、地球の中心および月から点Oまでの距離をそれぞれ

，

とする。以下の設問に答えよ。

(1) 点Oから見た地球の中心および月の速さをそれぞれ

，

とする。

および

をa，G，

，

を用いて表せ。

(2) 点Oを原点として固定したxy座標系を、図1-2(a)のように紙面と同一平面にとる。時刻

において、座標が

である地球表面上の点を点Xとする。月の公転周期を

とするとき、時刻t における点Xの座標を、

，R，

，t を用いて表せ。ただし、地球の自転を無視しているため、時刻

以降で図1-2(b)，(c)のように位置関係が変化することに注意せよ。

(3) 設問Ⅱ(2)の点Xに、

および

に比して十分に小さい質量mの質点が置かれているときを考える。この質点について、地球が点Oを中心とした円運動をすることで生じる遠心力の大きさ

を求め、G，m，

，aを用いて表せ。

(4) ある時刻において、地球表面上で月から最も遠い点をP，月に最も近い点をQとする。質量mの質点を点Pおよび点Qに置いた場合に、質点に働く遠心力と月からの万有引力の合力の大きさをそれぞれ

，

とする。

，

をG，m，

，a，Rを用いて表せ。また、点Pおよび点Qにおける合力の向きは月から遠ざかる方向か、近づく方向かをそれぞれ答えよ。

Ⅲ　さらに、太陽からの引力と、地球の公転運動によって発生する力について考える。これらの力についても設問Ⅱと同様に考えられるものとする。なお、地球と太陽の重心を点

とする。太陽は質量

の質点とし、地球の中心と太陽の距離をbとする。

図1-3のように、ある時刻において地球表面上で太陽から最も遠い点をSとする。質量mの質点が点Sに置かれたとき、地球が点

を中心とした円運動をすることで生じる遠心力と太陽からの万有引力の合力の大きさを

とする。設問Ⅱ(4)で求めた

に対する

の比は以下のように見積もることができる。

と

には連続する1桁の数字が入る。表1-1の中から必要な数値を用いて計算し、

に入る数字を答えよ。

表1-1

地球の質量
月の質量
太陽の質量
地球の中心と月との距離	a
地球の中心と太陽との距離	b
地球の半径	R
万有引力定数	G

[解答へ]

[2]　図2-1のように、水平なxy平面上に原点Oを中心とした長円形のレールがあり、斜線で示された

，

の領域には鉛直上向き方向に磁束密度の大きさがBの一様な磁場が加えられている。レール上に木製の台車があり、コイルを含む回路が台車に固定されている。コイルはxy平面に平行な正方形で、一辺の長さはL，ただし、

とする。コイルの四つの辺は台車の進行方向に対して平行または垂直である。上から見たとき台車とコイルの中心は一致しており、回路を含む台車の質量はmである。レールの直線部

は台車の大きさに比べて十分長いものとし、区間

上の

の点を

とする。
台車が点

を速さ

でx軸の正の方向(図の右方向)に出発し、その後、台車の中心が最初に

，

を通過した瞬間の速さをそれぞれ

，

とする。

に比べて速さの変化

と

は十分に小さい。また、

とする。コイルの右辺が磁場に進入する瞬間と磁場から出る瞬間の台車の中心位置をそれぞれ

，

とする。同様に、左辺が磁場に進入する瞬間と出る瞬間の台車の中心位置をそれぞれ

，

とする。台車に働く摩擦力や空気抵抗、コイル自身の電気抵抗は無視できる。

Ⅰ　図2-2のように、回路が正方形の一巻きコイルと抵抗値Rの抵抗からなる場合に、台車が最初に区間

を走る時の運動を考える。

(1) 台車の中心が

から

へ移動する運動について、以下の

と

に入る式を

，L，d，B，m，Rのうち必要なものを用いて表せ。磁束の符号は鉛直上向きを正とする。

速さに比べて速さの変化が十分に小さいため、台車が

間を移動するのにかかる時間は

と近似できる。移動の前後でのコイルを通る磁束の変化量

は

であり、この間の誘導起電力の平均値は

と書くことができる。移動中に誘導起電力が

で一定であると近似すると、この間に抵抗で発生するジュール熱の総和は

と書ける。

(2)

を

，L，d，B，m，Rのうち必要なものを用いて表せ。

Ⅱ　正方形の一巻きコイルに、抵抗値Rの抵抗、起電力Vで内部抵抗の無視できる電池、理想的なダイオードが接続された回路を台車に載せて走らせる。理想的なダイオードとは、順方向には抵抗なしに電流を通し、逆方向には電流を流さない素子である。図2-3は、区間

を走る台車を上から見たものである。

を出発した台車は磁場を通過することにより減速した。

台車が最初に区間

を走る時の運動について、

，L，d，B，m，R，Vのうち必要なものを用いて設問(1)～(3)に答えよ。ただし、設問Ⅰと同様の近似を用いることができるものとする。

(1) 台車の中心が

から

へ移動する間にコイルに流れる電流の大きさを求めよ。

(2) この電流によりコイルが磁場から受けるローレンツ力を求めよ。力の符号は、x軸正の向きを正とする。

(3) 同様に、台車の中心が

から

へ移動する間のローレンツ力を求めよ。

台車はレール上を繰り返し回りながら徐々に速度を下げ、やがて一定の速さ

で運動するようになった。設問(4)，(5)に答えよ。

(4) n回目に

を通り抜けた時の台車の運動エネルギー

をnの関数としてグラフに描いた場合、図2-4の①～④のどの形が最も適切か答えよ。

(5) 速さ

を

，L，d，B，m，R，Vのうち必要なものを用いて表せ。

Ⅲ　2本の正方形一巻きコイルと接続パネルからなる回路を台車に載せて走らせる。図2-5は区間

を走る台車を上から見たものである。2本のコイルの両端は接続パネルの端子A，B，C，Dに接続されている。接続パネルは図2-6に示すような抵抗と理想的なダイオードからなる回路である。設問Ⅰと同様の近似を用いることができるものとし、台車が最初に区間

を走る時の運動について、以下の設問に答えよ。2本のコイルは上から見たときに完全に重なっているとみなすことができ、接続パネル以外の部分では互いに絶縁されている。また、接続パネルの大きさは無視できるものとする。

(1) 端子Dの電位をゼロとする。台車の中心が

間を移動する間の端子A，Bの電位をそれぞれ求め、

，L，d，B，mのうち必要なものを用いて表せ。

(2) 抵抗

と

の抵抗値

，

は

を満たしながら

の範囲で値を調節することができる。区間

を通り過ぎた後の台車の速さの変化

を

，L，d，B，m，

，

のうち必要なものを用いて表せ。また、

が最小となるような

を求め、Rを用いて表せ。

[解答へ]

[3]　図3-1のようにピストンのついた断面積一定のシリンダーがある。ピストンには棒がついており、気密を保ちながら鉛直方向に滑らかに動かすことができる。シリンダーとピストンで囲まれた空間は、シリンダー内のある位置に水平に固定された特殊な膜によって領域1と領域2に仕切られている。領域1と領域2には合計1モルの単原子分子理想気体Xが、領域2には気体Xのほかに1モルの単原子分子理想気体Yが入っている。図3-2のように気体Xの分子は膜を衝突せず通過できるのに対し、気体Yの分子は膜を通過できない。シリンダーとピストンで囲まれた空間の外は真空であり、膜の厚さや、膜、シリンダー、ピストンの熱容量、気体分子に対する重力の影響は無視できる。ピストンは断熱材でできている。気体Xの分子1個の質量を