東大物理'22年前期[3]
図3-1のようにピストンのついた断面積一定のシリンダーがある。ピストンには棒がついており、気密を保ちながら鉛直方向に滑らかに動かすことができる。シリンダーとピストンで囲まれた空間は、シリンダー内のある位置に水平に固定された特殊な膜によって領域1と領域2に仕切られている。領域1と領域2には合計1モルの単原子分子理想気体Xが、領域2には気体Xのほかに1モルの単原子分子理想気体Yが入っている。図3-2のように気体Xの分子は膜を衝突せず通過できるのに対し、気体Yの分子は膜を通過できない。シリンダーとピストンで囲まれた空間の外は真空であり、膜の厚さや、膜、シリンダー、ピストンの熱容量、気体分子に対する重力の影響は無視できる。ピストンは断熱材でできている。気体Xの分子1個の質量を
，気体Yの分子1個の質量を
，シリンダーの内側の断面積をS，アボガドロ定数を
，気体定数をRとする。鉛直上向きにz軸をとる。以下の各過程では気体の状態は十分ゆっくり変化するため、領域1の圧力と領域2の圧力はそれぞれ常に均一であり、気体XとYが熱のやりとりをすることでシリンダー内の温度は常に均一であるとみなせる。
以下の設問に答えよ。
Ⅰ はじめにピストンは固定されており、領域1の体積は
，圧力は
，領域2の体積は
，圧力は
，シリンダー内の温度はTであった。気体分子のz方向の運動に注目し、気体XとYの分子の速度のz成分の2乗の平均をそれぞれ
，
とする。気体Yの分子は、膜に当たると膜に平行な速度成分は一定のまま弾性衝突してはね返されるとする。同様に、気体XとYの分子はピストンおよびシリンダーの面に当たると面に平行な速度成分は一定のまま弾性衝突してはね返されるとする。分子間の衝突は考慮しなくてよいほど気体は希薄である。
(1) ピストンが気体Xから受ける力の大きさの平均を
とする。
を、
，
，
，S，
，
のうち必要なものを用いて表せ。
(2) シリンダーの底面が気体XとYから受ける合計の力の大きさの平均を
とする。
を、
，
，
，
，
，S，
，
のうち必要なものを用いて表せ。
(3) ボルツマン定数をkとして、各分子は一方向あたり平均して
の運動エネルギーを持つ。
と
を、R，T，
，
のうち必要なものを用いて表せ。
(4) 気体XとYの内部エネルギーの合計を、R，Tを用いて表せ。
Ⅱ 次にピストンを設問Ⅰの状態からわずかに押し下げたところ、領域1の体積が
から
に、領域1の圧力が
から
に、領域2の圧力が
から
に、シリンダー内の温度がTから
に変化した。この過程で気体と外部の間で熱のやりとりはなかった。以下の設問では、
，
，
，
はそれぞれ
，
，T，
より十分小さな正の微小量とし、微小量どうしの積は無視できるとする。
(2) 
が成り立つ。
に入る数を求めよ。
Ⅲ 設問Ⅰの状態からピストンについている棒を取り外し、おもりをシリンダーに接しないようにピストンの上に静かに乗せたところ、領域1と領域2の体積、圧力、温度に変化はなかった。さらに図3-3のようにヒーターをシリンダーに接触させ気体を温めたところ、ピストンがゆっくり押し上がった。領域1の体積が
になったところでヒーターをシリンダーから離した。
(1) このときのシリンダー内の温度を、T，
，
を用いて表せ。
(2) 気体XとYが吸収した熱量の合計を、R，T，
，
を用いて表せ。
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解答 本問は、[1]，[2]とは違って、気体Xは通すが気体Yは通さない膜、という見慣れない設定で、少々考え込みます。気体Xは領域1，領域2合わせた体積
の領域に存在し、気体Yは領域2のみに存在する、と考えます。Ⅱは、ポアッソンの関係式が使えない状況設定ですが、ポアッソンの関係式導出の際にどう考えたか、ということを思い出すようにします。
これが、気体分子の受ける力積ですが、作用反作用の法則より、等大逆向きの力積
をピストンに与えます。気体分子がz方向に動く範囲の距離をlとして、ピストンとは逆側の壁で跳ね返って往復
進んで戻ってくる時間は
，1秒間にピストンに
回衝突するので、ピストンが1秒間にこの気体分子から受ける力積は
です。
気体1モルで
個の気体分子があるので、1モルの気体からピストンが受ける力F，即ち、1秒間に受ける力積は、Iの
を平均値
で置き換えて
倍することにより、 
･･･①気体が占有する体積は
です。ピストンが1モルの気体から受ける圧力Pは(理想気体を参照)、力Fを面積Sで割って、 
･･･②これと
より、1モルの気体の圧力Pは、 
･･･③ (これは、1モルの理想気体の状態方程式です)内部エネルギーは、気体分子1個では②で3方向として
，1モルの気体では気体分子
個で、
より、 
･･･④
(1) ピストンが気体Xから受ける力の大きさの平均
は、①で
，
として、 
......[答]
(2) シリンダーの底面が気体Xから受ける力は(1)の
です。気体Yから受ける力の大きさの平均
は、①で
，
，
として、
，XとYを合わせると
は、 
......[答]
(3) 前述のように、領域1には気体Xのみ存在するのですが、気体Xは領域1にも領域2にも存在するので、気体Xが占有する体積は
です。
は、③で
，
とすることにより、
......[答] 領域2で気体Yによる分圧
は、③で
，
とすることにより、
，気体Xによる分圧は
で、
は、 
......[答]
(4) 気体X，気体Yともに1モルで温度はTなので、④より、気体Xと気体Yの内部エネルギーの合計は、 
......[答]
Ⅱ(1) 
を無視するので、この間に気体がした仕事は
です。Ⅰ(4)より内部エネルギ－の増加は気体Xと気体Y合わせて
，熱力学第一法則より、気体は熱をやりとりしていないので、 
∴ 
......[答]
(2) はじめの状態で気体Xの状態方程式：
･･･⑤ 押し下げた後の状態で気体Xの状態方程式：
･･･⑥
⑥－⑤として
を無視すると、
･･･⑦(1)の結果より、
，これを⑦に代入し、 
に入るのは、
......[答]
Ⅲ(1) 気体Xがピストンを押す力は変化しないので、気体Xの変化は定圧変化です。気体Xの圧力は
のまま変化しません。ヒーターを離したとき、気体Xが占める体積は
なので、この状態での温度を
として、気体Xの状態方程式： 
･･･⑧⑧÷⑤より、
∴ 
......[答]
膜が固定されていて動かず気体Yは定積変化するので、気体Yが吸収した熱は定積モル比熱の式より、
気体Xと気体Yが吸収した熱量の合計は、(1)の結果を用いて、 
......[答]別解．気体X，Yはともに1モルずつ存在するので、内部エネルギーは④で与えられ、内部エネルギーの変化は、
気体のした仕事は、一定の圧力
のもとで体積が
増加するので、(3)の結果を用いて、
熱力学第一法則より、気体が吸収した熱量の合計Qは、
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を、
，R，
を用いて表せ。
とする速度でピストンに
に等しく、