気体分子運動論

気体分子運動論　　　関連問題

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

質量mの気体分子の速度の2乗の平均値を

として、気体分子1個のエネルギーの平均値εは、気体の絶対温度をT，ボルツマン定数を

として、
単原子分子理想気体では、

2原子分子理想気体では、

ボルツマン定数kと、アボガドロ数

，気体定数

の間には、

という関係がある(アボガドロ数、気体定数については、理想気体を参照)。
定積モル比熱

は、
単原子分子理想気体では、

2原子分子理素気体では、

理想気体の内部エネルギーUは、

単原子分子理想気体では、

2原子分子理想気体では、

解説　気体の振る舞いを気体分子1個の運動に着目して考えます。これを気体分子運動論と言います。
気体分子1個の運動に着目し、気体分子1個の速度やエネルギーを考える立場を‘微視的立場'と言います。これに対して、気体総体に着目し、気体の圧力、体積、温度を考える立場を‘巨視的立場'と言います。

容器の形状によって場合分けし、立方体容器の場合、球形容器の場合を考えます。
各場合において、容器内にn[mol]の気体が封入されているとします。アボガドロ数を

として、容器内には

個の気体分子が存在します。
気体分子1個は質量mの小球とし、気体分子の大きさと気体分子相互間に働く力を無視します。つまり、理想気体だとして考えます。
また、容器の内壁と気体分子は、完全弾性衝突をするとして考えます。

(1) 立方体容器の場合

一辺Lの立方体容器内に気体が封入されているとします。
立方体の1つの頂点から出る3辺に沿って、x軸、y軸、z軸をとり、気体分子1個の速度を

とします。
気体分子に働く重力は小さく無視すると、気体分子はx軸方向，y軸方向，z軸方向を区別できないので、容器内の気体分子全体の平均をとると、各方向の速度成分の2乗平均値

，

は等しいと考えることができます(速度成分自体の平均は各成分とも0)。つまり、

従って、気体分子の速度の2乗平均値

について、

∴

　･･･①

今、気体分子1個が、yz平面に速度

で完全弾性衝突するとします。衝突後の速度は

となり、この気体分子の衝突前後での運動量の変化は、

yz平面がこの気体分子1個から受けた力積は、この運動量の変化の反作用で、

この気体分子は、yz平面に衝突した後、往復で距離

，速度

で運動するので、往復に要する時間は

，t秒間には

回、yz平面と衝突します。
従って、t秒間にyz平面がこの気体分子1個から受ける力積の大きさは、

yz平面が全気体分子からt秒間に受ける力積の大きさは、この

を全気体分子での平均値

に置き換えて、気体分子の個数

をかけたものになり、

です。
yz平面が全気体分子から受ける力の大きさをFとしてt秒間に受ける力積の大きさは、

∴

①より、

yz平面、従って、立方体の他の面全てについて、各面が受ける圧力Pは、力の大きさFを面積

で割って、

立方体容器の体積

を用いて、

が得られます。

(2) 球形容器の場合

半径rの球形容器に気体が封入されているとします。
気体分子1個の速さをvとして、気体分子が容器の壁に衝突するとき、衝突前の速度の衝突面に垂直な成分は、速度と衝突面(衝突する点の接平面を考えます)の法線とのなす角をθ として、

です。
気体分子1個の衝突前後での運動量変化は、

球面壁が、この気体分子から受けた力積は、この運動量変化の反作用で、

この気体分子は球面壁に衝突した後、速さvで

進んで次に球面壁に衝突するので、衝突から衝突までの時間は

，t秒間に、

回、球面壁に衝突します。
従って、球面壁がt秒間にこの気体分子から受ける力積の大きさは、

球面壁が全気体分子からt秒間に受ける力積の大きさは、この

を全気体分子での平均値

に置き換えて、気体分子の個数

をかけたものになり、

です。
球面壁が全気体分子から受ける力の大きさをFとしてt秒間に受ける力積の大きさは、

∴

従って、球面壁が受ける圧力は、力の大きさFを球面の面積

で割って、

球形容器の体積

を用いて、

が得られます。

以上で、容器の形状が立方体であっても球形であっても、

が成り立つことがわかります。
ところで、

は、気体分子1個の運動エネルギーの平均値と考えられますが、これを用いて、

　･･･②
が得られます。
②を理想気体の状態方程式：

と比較すると、

　･･･③
ここで、

とおくと、

　･･･④
となり、気体分子1個の平均のエネルギー(この場合は、重力や分子間に働く力を無視しているので、位置エネルギーはなく運動エネルギーのみです)が、絶対温度を用いて、

と表されることがわかります。

をボルツマン定数と言います。気体定数R，アボガドロ数

，ボルツマン定数kの間に、

という関係があります。
また、気体分子の分子量

を用いて、④より、

となるので、気体分子の平均の速さ

は、
∴

ここで、

の中に出てくる3という数字の意味を考えてみます。
この3のルーツは、①式右辺の分母の3です。どうしてここに3が出てくるかと言うと、x軸方向、y軸方向、z軸方向の3方向を考えたからです。つまり、気体分子が、3方向に運動できるというところから出てきた3です。このことを、気体分子の運動の自由度が3であると言います。ここでは、気体分子を小球、即ち、気体分子が1個の原子からできていると考えたので、自由度が3になりました。
ヘリウムやネオンでは、原子1個で気体分子となります(こうした理想気体を、単原子分子理想気体と言います)が、酸素や水素では、酸素原子2個、水素原子2個で気体分子1個となります(こうした理想気体を2原子分子理想気体と言います)。原子2個でできている気体分子では、原子2個をバトンのような棒が結んでいるというモデルを考えます。この場合には、自由度は回転運動の自由度2(2原子がz軸上に並んでいるとすると、zx平面上の回転とyz平面上の回転)を合わせて、運動の自由度が5になることが知られています。
従って、単原子分子理想気体では、