東京大学2024年前期物理入試問題


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[1] 図1-1のように、十分に長いベルトをもつベルトコンベアをベルトと床とのなす角がθ ()となるように水平な床に固定する。ベルトのなす斜面に沿ったx軸を斜面上向きが正になるようにとる。x軸は常に床に対して静止している。このベルト上の物体の運動を考える。物体Aの質量はmである。また、ベルトと物体Aとの間の静止摩擦係数はμ,動摩擦係数はである。物体はx軸方向にのみ運動し、回転しないものとする。特に断りの無い限り、物体の座標や速度はこのx軸に対して定義する。重力加速度をとし、物体の大きさや空気抵抗は無視してよい。

T はじめに図1-2のように、とし、ベルトが静止しているときの物体Aの運動を考える。において物体Aに初速度 ()を与えたところ、物体Aは斜面に沿って上昇した後、再びに戻った。
(1) 物体Aが最高点に到達したときのx座標を求めよ。
(2) 物体Aに戻ったときの速度をmのうち必要なものを用いて表せ。

U 次に、図1-3のようにとし、一定の速度V ()でベルトが動いているときの物体Aの運動を考える。

(1) 時刻に物体Aを初速度0でベルトにおいたところ、物体Aは斜面上向きに移動し始めた。物体Aの速度を時刻t ()の関数として表せ。

(2) において物体Aに初速度 ()を与えたところ、物体Aは斜面に沿って下降した後、再びに戻った。物体Aに戻ったときの速度を求めよ。

V 1-4のようにとし、ばね定数kのばねでつながれた物体Aと物体Bをベルト上におく。物体Aは物体Bより常に高い位置にある。ベルトは一定の速度V ()で動いている。物体Bの質量はmで、物体Bとベルトとの間に摩擦はない。ばねは均質であり、ばねの質量は無視できる。
ばねを自然長から長さだけ伸ばした状態で、物体
Aおよび物体Bを速度0でベルトにおいたところ、二つの物体はx軸に対して静止し続けた。

(1) Vmkのうち必要なものを用いて表せ。

(2) Vmkのうち必要なものを用いて表せ。

次に物体Bの速度を0からVに瞬間的に変えた。この時刻をとする。物体Aは時刻 ()にはじめてベルトと同じ速度になった。物体Aおよび物体Bの速度をそれぞれおよびとする。

(3) 時刻t ()における物体Aと物体Bの重心Gの速度tVmkのうち必要なものを用いて表せ。

(4) 時刻t ()における物体Aおよび物体Bの運動は、重心Gから見るとそれぞれ単振動とみなせる。このことを用いてにおけるおよびを、それぞれtVmkのうち必要なものを用いて表せ。ここで、重心Gから物体Aおよび物体Bまでの距離がともにdだけ減少すると、物体Aがばねから受ける力は変化することを用いてもよい。

時刻以降、物体Aはベルトに対して静止し続けた。

(5) 時刻t ()におけるtVmkのうち必要なものを用いて表せ。

(6) 物体Aがベルトに対して静止し続けるためにμが満たすべき条件を、Vmkのうち必要なものを用いて表せ。

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[2] 固体中に電荷が固定された物体をエレクトレットと呼ぶ。エレクトレットは振動のエネルギーを電気エネルギーとして取り出す振動発電などの分野で利用されている。以下では、電荷を帯びた金属板が誘電体中に固定された物体をエレクトレットのモデルとする。
2-1のような装置を考える。水平な床の上に幅と奥行きがLで厚さの無視できる正方形の金属板(下電極)を固定した。その上に幅と奥行きがLで厚さがの直方体の形状で、中央に金属板が埋め込まれた誘電体を固定した。埋め込まれた金属板は幅と奥行きがLで厚さが無視でき、一定の電荷を帯びている。誘電体の誘電率はεである。上端を固定したばね定数kの絶縁体のばねを用いて、幅と奥行きがLで厚さの無視できる質量mの金属板(上電極)を誘電体の直上に吊り下げた。すべての金属板と誘電体は上方から見て重なっている。上電極は誘電体と平行を保ちながら上下方向に動かすことができる。上電極と下電極は抵抗とスイッチを介して導線でつながれている。この装置は真空中に置かれている。真空の誘電率はである。重力加速度をとする。
上電極の位置を表すために、誘電体の上面からわずかに上の位置をにとり、鉛直上向きに
z軸をとる。上電極の位置がのとき、上電極と誘電体上面の距離は無視できるほど小さい。電荷は、導線を介して上電極と下電極の間でのみ移動する。
初期条件で、図
2-1のようにスイッチは開いており、下電極は電荷を帯びていた。上電極は電荷を帯びておらず、つりあいの位置で静止していた。
これらの金属板で作られたコンデンサーを含む回路について、以下の設問に答えよ。ただし、金属板の面積は十分に大きく、端の効果は無視できるものとする。上電極につながれた導線は上電極の運動には影響しない。電荷の移動や金属板の振動に伴う電磁波の発生は無視できる。


T はじめ、図2-1に示したように下電極はの電荷を帯びており、スイッチは開いている。上電極はつりあいの位置にあり、電荷を帯びていない。

(1) 誘電体に埋め込まれた金属板の電位を求めよ。下電極を電位の基準(電位0)とする。

次に、図2-2()のように、上電極をの位置に固定し、スイッチを閉じた。十分長い時間が経過すると、上電極の電荷は一定になった。

(2) 上電極の電荷を求めよ。

続いて図2-2()のように、スイッチを開いた後、上電極に外力を加え、ある位置までゆっくり移動させた。その位置で上電極を自由に動くようにしたところ、図2-2()のように静止したままであった。

(3) 上電極の電荷を求めよ。

(4) 上電極の電位を求めよ。下電極を電位の基準(電位0)とする。

U 次に、図2-3()()()→・・・→()()で示される順に上電極を動かしながらスイッチを開閉したときの電荷の移動や抵抗の発熱を調べよう。

(1) を求めよ。

2-3()のようにスイッチを閉じたところ抵抗に電流が流れ発熱した。十分長い時間ののち発熱はやみ、上電極の電荷量が一定の値となった。

(2) スイッチを閉じている間の抵抗の発熱量の合計を、kを用いずを含む式で答えよ。

2-3()のように上電極におもりをのせてスイッチを開き、上電極が自由に動くようにしたところ、上電極は下降を始め、誘電体に衝突することなく速度が0になった。図2-3()のように、最低点はであった。その位置で上電極がそれ以上動かないように固定した。

(3) おもりの質量を求めよ。

2-3()のようにおもりを取り除いてスイッチを閉じたところ抵抗に電流が流れ発熱した。十分に長い時間の後に発熱はやみ、図2-3()に示されるはじめの状態に戻った。

(4) 2-3で示される1サイクルについて、抵抗の発熱量の合計を、kを用いず、を含む式で答えよ。

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[3] 音波に関する以下の設問に答えよ。空気中の音速をVとし、風の影響は無視せよ。

T x軸正負の方向に音波を発生する音源が、一定の速さ ()x軸上を正の向きに運動している。音源の振動数はで一定である。時刻に音源はの原点Oを通過した。音源の大きさは無視できる。
3-1のように、の点をPとする。ただし、とする。時刻に音源で発生した音波が点Pに到達する時刻をとする。

(1) 時刻に音源で発生した音波が点Pに到達する時刻をVLのうち必要なものを用いて表せ。

(2) Pでの音波の位相がだけ変化するために要する時間をVLのうち必要なものを用いて表せ。

続いて、図3-2のように、反射板を点Pに置く。音源から直接届く音波と反射板で反射されて届く音波の干渉によりうなりが生じる。

(3) 観測者が音源とともに運動する場合を考える。観測者と音源の距離は小さく、観測者は音源と同じ位置にいるとしてよい。音源が反射板に到達するまでの間に観測されるうなりの振動数(うなりの周期の逆数)VLのうち必要なものを用いて表せ。

(4) 観測者がの点Qに静止している場合を考える。ある時刻にうなりが観測され始めた。うなりが観測し始める時刻と、観測されるうなりの振動数をそれぞれVLのうち必要なものを用いて表せ。ただし、音源が原点Oを通過するとき、反射板で反射された音波は原点Oに到達しているものとする。また、音源の運動は観測者に影響されることはなく、音波は音源や観測者に遮られない。

U 音源から出る音波の振動数が時刻t によって変化する場合を考える。音源は原点Oに静止している。反射板はx軸上を運動できる。音源の大きさは無視できる。
音源から、の間だけ振動数が図3-3(A)や図3-3(B)のように時間変化する音波を発生させる。時刻t ()におけるぞれぞれの振動数は、を正の定数として、で与えられる。ただし、Tと比べて十分大きいとする。
音源から直接届く音波と反射されて届く音波の干渉によるうなりを、音源のすぐ近くで観測する。観測を行う位置と音源の距離は十分小さく、無視できる。このうなりの観測を用いて、反射板の位置や速度を計測することを考える。なお、音源で発生する音波は、反射板で反射された後、音波の周期より十分長くTよりも十分短い時間で、音源の位置に達するとする。

(1) 振動数が図3-3(A)のように時間変化する音波を音源から発生させる。図3-4のように反射板は位置に静止している。ただし、である。このとき、うなりの振動数はであった。TVのうち必要なものを用いて表せ。

次に、図3-5のように反射板が音源に向って一定の速さで近づく場合を考える。ただし、時刻での反射板の位置をとし、とする。

(2) 振動数が図3-3(A)のように時間変化する音波を音源から発生させる。時刻に音源で発生した音波は、ある位置で反射板により反射され、時刻に原点Oに到達した。に観測されるうなりの振動数をTVのうち必要なものを用いて表せ。

(3) 振動数が図3-3(B)のように時間変化する音波を音源から同時に発生させる。時刻に音源で発生した音波は、ある位置で反射板により反射され、時刻に原点Oに到達した。ただし、とする。時刻に観測されるうなりの振動数をTVのうち必要なものを用いて表せ。

(4) 振動数が図3-3(A)と図3-3(B)のように時間変化する音波を音源から同時に発生させる。振動数が図3-3(A)のように時間変化する音波とその反射波によるうなりの振動数を,振動数が図3-3(B)のように時間変化する音波とその反射波によるうなりの振動数をとする。うなりの振動数の差TVのうち必要なものを用いて表せ。

(5) 設問U(4)におけるの測定によりを求めることができる。として、を有効数字2桁で求めよ。
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