東大物理'24年前期[2]

東大物理'24年前期[2]

固体中に電荷が固定された物体をエレクトレットと呼ぶ。エレクトレットは振動のエネルギーを電気エネルギーとして取り出す振動発電などの分野で利用されている。以下では、電荷を帯びた金属板が誘電体中に固定された物体をエレクトレットのモデルとする。

図2-1のような装置を考える。水平な床の上に幅と奥行きがLで厚さの無視できる正方形の金属板(下電極)を固定した。その上に幅と奥行きがLで厚さが

の直方体の形状で、中央に金属板が埋め込まれた誘電体を固定した。埋め込まれた金属板は幅と奥行きがLで厚さが無視でき、一定の電荷

を帯びている。誘電体の誘電率はεである。上端を固定したばね定数kの絶縁体のばねを用いて、幅と奥行きがLで厚さの無視できる質量mの金属板(上電極)を誘電体の直上に吊り下げた。すべての金属板と誘電体は上方から見て重なっている。上電極は誘電体と平行を保ちながら上下方向に動かすことができる。上電極と下電極は抵抗とスイッチを介して導線でつながれている。この装置は真空中に置かれている。真空の誘電率は

である。重力加速度を

とする。
上電極の位置を表すために、誘電体の上面からわずかに上の位置を

にとり、鉛直上向きにz軸をとる。上電極の位置が

のとき、上電極と誘電体上面の距離は無視できるほど小さい。電荷は、導線を介して上電極と下電極の間でのみ移動する。
初期条件で、図2-1のようにスイッチは開いており、下電極は電荷

を帯びていた。上電極は電荷を帯びておらず、つりあいの位置

で静止していた。
これらの金属板で作られたコンデンサーを含む回路について、以下の設問に答えよ。ただし、金属板の面積は十分に大きく、端の効果は無視できるものとする。上電極につながれた導線は上電極の運動には影響しない。電荷の移動や金属板の振動に伴う電磁波の発生は無視できる。

Ⅰ　はじめ、図2-1に示したように下電極は

の電荷を帯びており、スイッチは開いている。上電極はつりあいの位置

にあり、電荷を帯びていない。

(1) 誘電体に埋め込まれた金属板の電位を求めよ。下電極を電位の基準(電位0)とする。

次に、図2-2(ア)のように、上電極を

の位置に固定し、スイッチを閉じた。十分長い時間が経過すると、上電極の電荷は一定になった。

(2) 上電極の電荷を求めよ。

続いて図2-2(イ)のように、スイッチを開いた後、上電極に外力を加え、ある位置までゆっくり移動させた。その位置で上電極を自由に動くようにしたところ、図2-2(ウ)のように静止したままであった。

(3) 上電極のz座標を求めよ。

(4) 上電極の電位を求めよ。下電極を電位の基準(電位0)とする。

Ⅱ　次に、図2-3(ア)→(イ)→(ウ)→・・・→(キ)→(ア)で示される順に上電極を動かしながらスイッチを開閉したときの電荷の移動や抵抗の発熱を調べよう。

図2-3(ア)のように上電極を

に移動し、スイッチを閉じた。十分に長い時間が経過し、上電極の電荷は一定になった。次に、図2-3(イ)のようにスイッチを開き、上電極を自由に動くようにしたところ、上方向に加速度運動をはじめた。上電極は図2-3(ウ)のように

まで上昇し速度が0になった。その位置で上電極がそれ以上動かないように固定した。

(1)

を求めよ。

図2-3(エ)のようにスイッチを閉じたところ抵抗に電流が流れ発熱した。十分長い時間ののち発熱はやみ、上電極の電荷量が一定の値

となった。

(2) スイッチを閉じている間の抵抗の発熱量の合計を、

，kを用いず

を含む式で答えよ。

図2-3(オ)のように上電極におもりをのせてスイッチを開き、上電極が自由に動くようにしたところ、上電極は下降を始め、誘電体に衝突することなく速度が0になった。図2-3(カ)のように、最低点は

であった。その位置で上電極がそれ以上動かないように固定した。

(3) おもりの質量を求めよ。

図2-3(キ)のようにおもりを取り除いてスイッチを閉じたところ抵抗に電流が流れ発熱した。十分に長い時間の後に発熱はやみ、図2-3(ア)に示されるはじめの状態に戻った。

(4) 図2-3で示される1サイクルについて、抵抗の発熱量の合計を、

，kを用いず、

を含む式で答えよ。

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解答　電荷が残る孤立した節点を持つコンデンサー回路にばねによる単振動が組み合わされた問題です。丁寧に考察を進める必要があります。

本問では、ばねの力をつり合いの位置からの変位で考えます。鉛直に置かれたばねに質量mのおもりを吊り下げてdだけばねが自然長から伸びたとします。力のつり合いより、

ここで、さらにおもりに外力f を加えて、ばねがさらに

伸びたとします。力のつり合いより、

これを、

なので、

つまり、つり合いの位置からのばねの伸びによる力

とf がつり合っているとして考えます。

なので、

の中には重力

が含まれています。そこで、以下では、つり合いの位置からの変位で考えたばねによる力

を「ばねの弾性力＋重力」と表現します。

Ⅰ(1)

の部分の電場は、正電荷を持つ下電極から負電荷を持つ金属板に向う向きです。この部分では電位はzの増加に伴って低くなります。下電極と金属板の間にできているコンデンサーの静電容量は

で、コンデンサーは電荷Qを蓄えており、金属板と下電極の間の電圧をVとして、

　∴

金属板の電位は下電極よりもVだけ低く、下電極を基準とした金属板の電位は、

......[答]

(2) 上電極の電荷を

とすると、下電極の電荷は

です。上電極と金属板の間にできているコンデンサーの静電容量も

です。金属板と上電極の間の電圧、金属板と下電極の間の電圧は等しいので、

　∴

，

上電極の電荷は正電荷で、

......[答]

注．上電極と金属板の間にできているコンデンサーと、下電極と金属板の間にできているコンデンサーは、両端の電位が等しいので並列で合成容量は

です。合成されたコンデンサー両端の電圧は

，1個のコンデンサーが蓄える電荷は、

です。

(3) 金属板と上電極の間は、誘電体上面に薄い金属板があるとして、金属板と誘電体上面の間の誘電体がある部分のコンデンサー(静電容量

)と誘電体上面と上電極の間の真空中の部分のコンデンサーに分けて考えます。スイッチを開いた後、上極板には電荷

が取り残されています。上電極が

の位置で静止しているとき、金属板から誘電体上面、そして上電極に向って電位は高くなり、電場の向きは下向きです。誘電体上面と上電極の間の部分にできているコンデンサーの静電容量は

です。コンデンサーが蓄える電荷は

です。誘電体上面と上電極の間の電圧

は、

　･･･①

ここにできている電場の強さは

(向きは下向き)

電場

が上電極に及ぼす電気力の大きさ

は、

　･･･②

向きは下向きです。ばねはつり合いの位置から

伸びており(ばねが縮んでいる場合は、電気力もばねの力も下向きで、上電極は静止しません)、ばねの弾性力＋重力f は

(

)、図2-2(ウ)における力のつり合いより、

∴

......[答]　･･･③

(4) 下電極と金属板の間の電圧

は、

，金属板と誘電体上面の間の電圧も

です。下電極よりも金属板の方が電位は低く、金属板よりも誘電体上面の方が電位は高くなります。下電極の電位を0とすると、金属板の電位は

，誘電体上面の電位は0，誘電体上面と上電極の間の電圧は①の

で、上電極の電位は

となり、

......[答]

Ⅱ　図2-3(ア)の状況は、Ⅰの図2-2(ア)の状況と同じです。Ⅰ(2)と同じく、上電極の電荷は

，図2-3(イ)で、スイッチを開いて上極板の電荷

を動けないようにして、上電極を自由に動くようにすると、上極板と誘電体上面との間にできる電場が上電極に及ぼす電気力は②より、下向きに大きさ

です(コンデンサーの極板間の電場が極板上の電荷に及ぼす力は一定です)。上極板のz座標をzとして、ばねのつり合いの位置からの伸びは、

です。ばねが上極板に及ぼす弾性力＋重力は、上向きに

です。上極板の運動方程式は、上極板の加速度をaとして、

　･･･④

よって、上極板は、角振動数

，振動中心

(Ⅰ(3)で求めた弾性力＋重力＋電気力のつり合いの位置です)の単振動をします。

(1) 図2-3(イ)(

)の状況が単振動の振動端で、上電極の速度が0になった図2-3(ウ)(

)の状況がもう一つの振動端です。2つの振動端の中点は振動中心なので、

であり、③より、

......[答]

図2-3(イ)→図2-3(ウ)(エ)の状況を考えます。図2-3(ウ)(エ)の状況で、誘電体上面と上電極の間にできるコンデンサーの静電容量は、Ⅰ(3)の

の

を

として、

です。金属板と上電極の間は、静電容量

のコンデンサーと静電容量

のコンデンサーの直列接続になっており、合成容量

は、

より、

です。
スイッチを閉じて電流が流れ十分時間が経過した後、図2-3(エ)の状況で、金属板と上電極の間のコンデンサーの電荷が

になると、下電極と金属板の間のコンデンサーの電荷は、

になります。
金属板から上の

，

直列のコンデンサー

と、金属板から下のコンデンサー

は並列接続状態になっていて、電圧が等しいので、

　∴

，

(2) 問題文に「

を含む式で答えよ」とあるので、

を使って考えます。

です。

図2-3(ウ)の状況で、下電極と金属板の間のコンデンサーも、金属板と上電極の間のコンデンサーも電荷

を蓄えているので、コンデンサーが蓄えている全静電エネルギー

は、

スイッチを閉じて電流が流れ十分時間が経過した後の全静電エネルギー

は、

抵抗の発熱量は、コンデンサーが失った静電エネルギー

に等しく、

より、

......[答]

(3) 上電極が

に来ても、上電極と誘電体上面の間に無視できるほど小さくても、距離が残っているという問題文の指定に注意します。つまり、このときにも誘電体上面と上電極の間のコンデンサーは残っています。上電極のz座標がzのとき、上電極と誘電体上面の間にできているコンデンサーの静電容量は

です。コンデンサーは電荷

を持っているので、このコンデンサーの極板間電圧は、

，極板間の電場の強さは、

(向きは下向き)，このとき電場が上極板に及ぼす電気力

の大きさは、

　(下向き)

注．この電気力は、誘電体上面と上電極の距離が無視できるほど小さくても一定であることに注意します。

上電極の電荷が

のときの運動方程式④と比べて、上電極のz座標がzのときのばねの弾性力＋重力は変わらず、電気力は

→

となり、おもりの質量をMとしておもりに働く重力

が加わり、上電極の運動方程式は、

となり、やはり単振動ですが、問題文の「最低点は

であった」という記述から、この単振動は、④と同じく、

を振動中心とする単振動でなければなりません。よって、

　･･･⑤

∴

......[答]

注．上記では、運動方程式を立てて、単振動を考察しましたが、手間がかかります。単振動の振動中心は、つり合いの位置であり、振動中心が同じ、ということは、つり合いの位置が同じ、ということであり、答案には、「つり合いの位置は変わらないから」として⑤式を立てるのでOKです。

(4) 図2-3で示される1サイクルで、装置が受ける仕事は、おもりに働く重力がする仕事、即ち、おもりの位置エネルギーです。抵抗で発生する発熱量は、おもりの位置エネルギーの減少分であるとして、(3)の結果を用いて、

......[答]

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