反変ベクトル・共変ベクトル・反変テンソル・共変テンソル


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K系の世界点xが、系に座標変換されて世界点になったとします。
K系における関数の値と系における関数の値が等しいとき、即ち、
となるとき、ϕをスカラーと言います。

連鎖定理より、
縮約して書くと、
　(分母に来ているの添字μは下付き添字のように考えてください)
つまり、微小変位の添字μを上に書くとつじつまが合うのです。座標の添字μも上に書きます。また、座標変換に対して、と同様の変換の仕方をするベクトル，つまり、
のように変換されるベクトルを反変ベクトルと言います。反変ベクトルの成分の添字は右上に書きます。べき乗の指数と紛らわしいので注意してください。
これに対し、スカラーϕを各座標で微分してできるベクトル(4元的gradとも言えるもの)は、連鎖定理より、
縮約して書くと、
(右辺の添字μは分母にあるので下付き扱い)と書くと、
このように変換されるベクトルを共変ベクトルと言います。共変ベクトルの成分の添字は右下に書きます。

K系で座標の目盛りを1mで1，2mで2となるように取っていたのを、系で座標の目盛りを2mで1，4mで2となるように取ると、K系でだった位置は、系ではになります。目盛りの取り方と座標は反対の動きをします。つまり、で、反変ベクトルの成分は、と、目盛りの取り方とは反対に変換されます。
K系で原点を通る直線の傾きが1のとき、この直線は点を通過します。x座標の1が、系でになると直線はを通過します。系では、直線の傾きは2になり、目盛りの取り方と同じ動きをします。つまり、で、共変ベクトルの成分である直線の傾きは、と、目盛りの取り方と同じように変換されます。

反変ベクトルと同様に、上付き添字が2つになり、
のように変換される量を反変テンソルと言います。
共変ベクトルと同様に、下付き添字が2つになり、
　･･･①
のように変換される量を共変テンソルと言います。
反変成分と共変成分が混じっていて、
のように変換される量を混合テンソルと言います。

微小世界間隔の2乗：
として定義される計量テンソルは共変テンソルです。なぜなら、K系から系に変換されてとなるとき、世界間隔の2乗は変化しないので、

これより、計量テンソルは、
と①のように変換されるので、共変テンソルです。

反変ベクトルから共変ベクトルを作るとき、計量テンソルを用いて、
とします。縮約している添字μをνに入れ替えたの両辺に、の逆行列をかけると、
　(計量テンソルを参照)
となり、元の反変ベクトルに戻ります。同様に共変ベクトルから反変ベクトルを作るとき、
とします。反変テンソルから混合テンソルを作るときは、
反変テンソルから共変テンソルを作るときは、
共変テンソルから混合テンソルを作るときは、
共変テンソルから反変テンソルを作るときは、
とします。



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