計量テンソル

計量テンソル

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ある座標系において、ニュートンの運動の第1法則(慣性の法則)によると、外部から力を受けない物体は等速直線運動を続けます。こうした座標系を慣性系と言います。ある慣性系Kから見て等速直線運動する物体に付属する座標系

もも慣性系になります。慣性系をガリレイ系とか、座標系がガリレイ的である、ともいいます。K系から見て

系の速度が余りにも大きいときは、座標変換はローレンツ変換で考える必要があります。
アインシュタインの相対性の要請(慣性系に対するものを特殊相対性と言います)によると、物理法則は、全ての座標系で同一の形(共変であると言います)に書かれる必要があります。ニュートンの運動3法則は、ローレンツ変換に対して共変ではありませんが、マクスウェルの方程式は、ローレンツ変換に対して共変です。ローレンツ変換では、(ガリレイ的)空間と時間とが混じってしまい、分けて考えることができないので、空間と時間とをまとめて、ミンコフスキー時空、とか平坦な時空と言います。空間だけの場合はユークリッド空間と言います。

これに対して、慣性系Kから見て、加速度運動をしている系

を非慣性系と言います。非慣性系においても、見かけの力(慣性力)の導入によって慣性系として扱う(Newtonの運動3法則で運動を考える)ことができます。但し、自分が慣性系にいるのか非慣性系にいるのかを判断することはできないのです。自分が椅子に座って物体の運動を眺めるとき、自分は慣性系にいる、と思っていても、地球は自転しているので、円運動(加速度運動です)をしている非慣性系である地球上で物体を眺めているわけです。地球も太陽の周りの公転しているし、太陽系も銀河系の中を回転運動しているし、どこに慣性系が存在するのかは、自分自身ではわかりません。そこで、アインシュタインの相対性の要請は、慣性系であろうが、非慣性系であろうが、物理法則は共変な形に表現されねばならない、ということになります。これを一般相対性と言います。

慣性系に対して加速度運動している非慣性系は、慣性系のミンコフスキー時空に対して、リーマン空間とか、曲がった空間と言います。ところで、非慣性系では、一般相対性だけでは物理学を構築できないので、アインシュタインは、慣性力の考え方を発展させて、ある座標系Kで重力が存在しても、Kに対して加速度運動する座標系

をうまく設定すれば重力の効果を消去して

を慣性系にできる、という考え方(等価原理と言います)を導入して、一般相対性理論を作りました。これによると、時空内のある1点(世界点と言います)の周囲に局所的に重力が働かないミンコフスキー時空(この系を局所慣性系と言います)を設定して、特殊相対性に基づく物理法則を構築し、他の座標系には一般座標変換と呼ばれる座標変換で法則を展開して行くことができます。

リーマン空間では、2つの世界点の間の距離を世界間隔と言います。微小に離れた2つの世界点の間の微小世界間隔