ローレンツ変換


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ある静止系Kに対して速さvで等速直線運動する座標系への座標変換を考えます。
K系の座標x系の座標に変換されるとして、となる変換をガリレイ変換と言います。ニュートンの運動方程式は、ガリレイ変換に対して共変です。ところが、マクスウェルの方程式は、実はガリレイ変換に対して共変ではありません。K系に速度に垂直な磁場(磁束密度B)が存在する場合、系で静止している電荷qには電磁誘導の法則による起電力が発生するはずですが、系では電荷が静止しているのでこの起電力が見えません。アインシュタインは高校生の頃からこの点について疑問を持っていたという伝説がありますが、1905年の論文で、系には電場が発生する、と結論しています。これが、アインシュタインの相対性理論の出発点になっています。

電荷電流が分布していない真空中(誘電率,透磁率)では、マクスウェルの方程式波動方程式となり、伝播速度電磁波を表します。伝播速度から光は電磁波1種であると考えられました。19世紀には、この伝播速度は絶対静止エーテルに対するものだと考えられており、地球上の観測者が絶対静止エーテルに対してどれほどの速度で移動しているかを検出しようという実験が行われましたが、1880年代に行われたマイケルソン・モーレーの実験においても、この速度は検出されませんでした。ローレンツは、観測者の移動方向に長さが縮む(ローレンツ収縮と言います)、として実験結果を説明しました。
これに対して、アインシュタインは、
1905年の論文で、物理法則はすべての慣性系で同じものであり、光速は運動するどの座標系においても一定である、として、ガリレイ変換に代わる、マクスウェルの方程式が共変となる座標変換の公式を導出しました。

ここで、ある慣性系
Kに対して、K系のx軸正方向に速さvで進む慣性系を考え、Kにおけるx座標時間t と、におけるx座標時間との間の関係を調べます。
系において
x軸に垂直な方向に時間の間に光が距離h進むとき、です。これをK系から見ると、時間t の間に、x軸方向にも距離だけ進むように見えるので光の進む距離について、三平方の定理より、
 ∴  ・・・@
@は、運動している系における時間は、K系における時間よりも短いことを意味しています。「運動している時計は遅れる」と言われます。
時刻0に、K系と系の原点が一致していて、原点で光が点灯し、系において、位置に置かれた鏡で反射して時刻の原点に戻ってきたとします。このとき系で見て、光は往復運動するだけなので、
 ・・・A
です。これをK系から見ると、時刻0位置xに置かれた鏡(であることに注意)時間の間に位置に来たときに光が反射するとして、
 ∴
反射した光が時間の間に、位置まで来ている点に戻るとして、光の進む距離なので、
 ∴
光が進む時間について、K系の系のに対応するので、@より、
Aより、 ・・・B
Bは、運動している系における
長さは、K系で見るととなり、短く観測されることを意味しています。こうして、ローレンツ収縮が説明されます。
時刻0において、系の原点K系の原点Oに一致していたとします。系がK系に対してx軸方向に速さvで移動していたとすると、点は、K系において、時刻t において位置にあります。系における座標は、K系におけるに対応しており、ローレンツ収縮の式:Bより、
これより、
 ・・・C
とおくと、
 ・・・D
一方、K系と系とを入れ替えて見ると、系からK系は速さvx軸負方向に動いているので、xを入れ替えるとDのに変わります。即ち、
Dを代入すると、


K系に対して速さvx軸方向に並進運動しているにおける4座標は、K系の座標を用いて、として(添字はべき乗の指数ではなく4座標のどれかを示す番号です。反変ベクトル・共変ベクトルを参照)、行列を用いて表すと、
 ・・・E
と書くと、このからへの変換をローレンツ変換と言います。ローレンツ変換を表す行列の成分()と書くと、,他はです。このとき、ローレンツ変換Eを、
と表すことができます。
ミンコフスキー時空
(平坦な時空)における世界間隔sは、
として定義されます(計量テンソルを参照)。ミンコフスキー時空における計量テンソルは、,他の成分は0なので、ローレンツ変換:により、



 (Cより、)
よって、世界間隔の2は、ローレンツ変換に関して不変です。逆に言うと、世界間隔の2を不変にする変換がローレンツ変換です。Cでのとき、になるので、ローレンツ変換を表す行列は単位行列(のときに1,その他は0となるテンソル)になります。
また、Cで
v とすると、となり、
となりますが、Cより、なので、
つまり、の逆行列になっています。また、
だとすると、
とみれば、
と書けるので、と同様の形をしています。つまり、ローレンツ変換の全体は、単位元と逆元を持ち、2つの元の積もまたローレンツ変換となるので、群をなします。これをローレンツ群と言います。
注.正確に言うと、Eはローレンツ・ブーストと呼ばれます。正確には、Eに空間的な回転を施したものをローレンツ変換と言い、その変換全体でローレンツ群を作ります。



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