波動方程式

1次元波動方程式:
c:波の伝播速度
1次元波動方程式の一般解:
は任意の関数
正弦波: 
(複号は波の進行方向を表す。負はx軸正方向、正はx軸負方向)
A
振幅k:波数、ω角振動数δ:初期位相
3次元波動方程式:
平面波: 
(:波数ベクトル。複号は波の進行方向を表す。負はの方向、正はと逆方向)


弦を伝わる1次元の波で、1次元の波動方程式を求めてみます。右図のようにx軸をとり、線密度ρの弦がx軸と重なるとき、弦に働く張力Tとします。右図でピンク色の長さの微小部分PQ質量になります。
右図の
P点で弦の変位離れたQ点で弦の変位P点で張力x軸とのなす角をαQ点で張力x軸とのなす角をβとします。右図で、微小部分PQの部分がx軸と垂直な方向に受けるは、P点で受けるQ点で受けるの合力で、です。微小部分PQx軸に垂直な方向の運動方程式は、
 ・・・@ (偏微分を参照)
微小部分PQx軸方向には動かないとして、x軸方向の力のつりあいは、
これは、弦に働く張力Tに等しいので、
一方で、点Pにおけるの接線の傾きは、
 (は導関数xにおける値)
Qにおける接線の傾きは、
 (は導関数における値)
よって、@は、
となり、両辺をで割ると、
ここで、とすると、より、
(弦を伝わる波の伝播速度です)とおくと、
 ・・・A
となり、1次元波動方程式が得られます。3次元の場合は、
として、
 ・・・B

Aに、
 ・・・C
を代入すると、左辺は、

右辺は、

よって、CはAを満たします。Cのうちは、を定数とするとも定数です。このとき、となりますが、同一の
変位のところが速度cx軸正方向に移動していることを意味します。つまり、x軸正方向に進む波動を表しています。同様に、x軸負方向に進む波動を表しています。電磁波も、電磁場が波動方程式A,Bを満たします。

Aの解を変数分離して、
(xのみの関数、t のみの関数)とおき、周期性:を満たすとします。
より、Aは、
両辺をで割って、
 ・・・D
左辺はxのみの関数、右辺はtのみの関数なので、この値は定数でなければなりません。この定数が0だとすると、よりαβを定数としてとなりますが、周期性の条件より、より ∴
同様にも定数でも定数です。これでは波動になりません。
Dの定数が正の定数だとしてとおくと、


,積分して、 (C:積分定数) ()
周期性の条件より、より
これでは周期性にならないので、Dの定数は負となり、Dをとおくと、

 ・・・E
 ・・・F
E,Fは単振動の方程式ですが、Fは、
これより、,積分して、
 (:積分定数)
とおくと、 ・・・G
Gの
ωにおきかえて、Eについても、 (Bγ:定数) ・・・H
Gは、周期性の条件より、 ∴
 ∴ (n:整数,)
ここでは、をとって、周期振動数角振動数です。
Hも、周期性の条件より、 ∴
 ∴ (:整数)
ここも、をとって、波長です。また、 (波の公式を参照)です。
を波数と言います。こうして、

をまとめてAδとし、kの前の複号はkに含めてしまうと、
 ・・・I
A振幅δは初期位相です。実際の波動は、
 ・・・J
を考えれば十分です。
I,Jにおいて、前述したように、
x軸正方向に進む波、x軸負方向に進む波を表すので、のとき、複号が負のものがx軸正方向に進む波、複号が正のものがx軸負方向に進む波を表します。波動が平面波である場合には、波面はx軸に垂直です。

3次元の波動方程式Bの解は、
または、
で与えられます。を波数ベクトル(が波数になります)と言い、この解は、の方向に進み、と垂直な方向に広がる平面波(波面はと垂直)を表します。なお、原点から遠ざかる方向に進む球面波(平面波、球面波については、ホイヘンスの原理を参照)は、原点からの距離rとして、
で与えられます。振幅とみると、振幅は原点からの距離に反比例します。


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