は任意の関数正弦波：
は任意の関数 (複号は波の進行方向を表す。負はx軸正方向、正はx軸負方向)
(
：波数ベクトル。複号は波の進行方向を表す。負は
の方向、正は
と逆方向)
弦を伝わる1次元の波で、1次元の波動方程式を求めてみます。右図のようにx軸をとり、線密度ρの弦がx軸と重なるとき、弦に働く張力をTとします。右図でピンク色の長さ
の微小部分PQの質量は
になります。
，
離れたQ点で弦の変位を
，P点で張力
とx軸とのなす角をα，Q点で張力
とx軸とのなす角をβとします。右図で、微小部分PQの部分がx軸と垂直な方向に受ける力は、P点で受ける
とQ点で受ける
の合力で、
です。微小部分PQのx軸に垂直な方向の運動方程式は、
，
の接線の傾きは、
(
は導関数
のxにおける値)
(
は導関数
の
における値)
で割ると、
とすると、
より、
(弦を伝わる波の伝播速度です)とおくと、
･･･②
･･･③
･･･④
，
は、
を定数とすると
も定数です。このとき、
，
となりますが、同一の変位のところが速度cでx軸正方向に移動していることを意味します。つまり、
はx軸正方向に進む波動を表しています。同様に、
はx軸負方向に進む波動を表しています。電磁波も、電磁場が波動方程式②，③を満たします。
(
はxのみの関数、
はt のみの関数)とおき、周期性：
，
を満たすとします。
，
，
，
で割って、
･･･⑤
よりα，βを定数として
となりますが、周期性の条件より、
より
∴ 
，
も定数で
も定数です。これでは波動になりません。
とおくと、
，
，積分して、
(C：積分定数)，
(
)
，
より
とおくと、
･･･⑥
･･･⑦
，
，積分して、
(
：積分定数)，
とおくと、
･･･⑧
におきかえて、⑥についても、
(B，γ：定数) ･･･⑨
∴ 
∴ 
(n：整数，
)
をとって、
は周期，
は振動数、
は角振動数です。
∴ 
∴ 
(
：整数)
をとって、
は波長です。また、
(波の公式を参照)です。
を波数と言います。こうして、
をまとめてA，
をδとし、kの前の複号はkに含めてしまうと、
･･･⑩
･･･⑪
がx軸正方向に進む波、
がx軸負方向に進む波を表すので、
のとき、複号が負のものがx軸正方向に進む波、複号が正のものがx軸負方向に進む波を表します。波動が平面波である場合には、波面はx軸に垂直です。
を波数ベクトル(
が波数になります)と言い、この解は、
の方向に進み、
と垂直な方向に広がる平面波(波面は
と垂直)を表します。なお、原点から遠ざかる方向に進む球面波(平面波、球面波については、ホイヘンスの原理を参照)は、原点からの距離をrとして、
を振幅とみると、振幅は原点からの距離に反比例します。