電磁波 関連問題
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マクスウェルの方程式：
において、空間中に電荷や電流が分布していないとして、電荷密度
，電流密度
とします。①は、
･･･⑤
･･･⑥
⑥式両辺のrot (回転を参照)をとると、
となりますが、右辺は、
，
と④式より、
･･･⑦
同様に、④式より、⑥を用いて、
⑨，⑩より、電界も磁界も同じ形の方程式(
の形の方程式を波動方程式と言います)に従うことがわかります。
1次元で、
がxにのみ依存するz成分
のみをもち、x成分，y成分が0となる場合を考えてみます。⑩は、
，
･･･⑪
の形をしていることが知られています。実際に代入してみると、
となり、⑪を満たしていることがわかります。
ここで、tを固定して
という関数のグラフを考えると、
のときのグラフ
をx軸負方向に
だけ平行移動したグラフを表しています。tを時間とすれば、速さvでx軸負方向に
のグラフが移動することになります。同様に、tを固定して
のグラフは、tを時間として
のグラフを速さvでx軸正方向に移動したものになります。
⑪は、
における
，
が速さ
で移動する波動現象を表しているのです。⑨についても同様に1次元で考えると波動を表します。この電界と磁界の波動が電磁波です。
はx軸負方向に進む波動で退行波、
はx軸正方向に進む波動で進行波と言います。真空中においては、
，
と考えて、電磁波の伝播速度は、
となり、光速に一致します。このことから、光も電磁波の一種であることがわかります。
3次元の場合には、⑩の解は、
，
(
，
，
は定数)，
(
，
，
は定数)として、
･･･⑫
となり、
，つまり、
であれば、⑩を満たします。
は波の進行方向を表していて、
は
の波の進行方向成分を表しています。
⑤より、
なので、
これが恒等的に成り立つためには、
，即ち、
と
は垂直でなければなりません。ということは、電界
の振動方向は、波の進行方向と垂直になっていて、電界の波動は横波だということがわかります。
全く同様にして、②より、
なので、⑨の解を⑫と同じ形：
に書くことができて、磁界の波動も波の進行方向と垂直になっていて、磁界の波動も横波であることがわかります。
⑫の位相をある値θ とおくと、
･･･⑬
は、この平面の法線ベクトルで、この平面に垂直です。ということは、電界と磁界の波動の振幅を表すベクトル
と
は、ある
に対する平面⑬上のベクトルになっているということです。
また、⑥より、
となりますが、
と
を代入すると、
より、
と
は垂直だったので、
と
も垂直になります(外積を参照)。つまり、電界と磁界のそれぞれの波動の振動の方向は互いに垂直になっているということがわかります。また、電磁波の進行方向は、電界の振動方向から磁界の振動方向に回る向きを右ねじの向きとして、右ねじの回る向きだということもわかります(右ねじの法則を参照)。
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･･･①
･･･②
･･･③
･･･④
(∵ ②より、
) ･･･⑧
･･･⑨
(∵ ⑤より、
)
･･･⑩
