センター試験数学IA 2008年問題　


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[1][1]　長方形ABCDにおいて、，とする。辺AB上に点P，辺BC上に点Q，辺CD上に点Rを
　　　
となるようにとり、とおく()。このとき、台形PBCRの面積はである。また、△PQRの面積Sは
　　　
である。となるxの範囲は
　　　
である。

[2]　次の～に当てはまるものを、下の～のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

自然数m，nについて、条件p，q，rを次のように定める。

p：は2で割り切れる
q：nは4で割り切れる
r：mは2で割り切れ、かつnは4で割り切れる

また、条件pの否定を，条件rの否定をで表す。このとき

pはrであるための。
はであるための。
「pかつq」はrであるための。
「pまたはq」はrであるための。

　必要十分条件である
　必要条件であるが、十分条件でない
　十分条件であるが、必要条件でない
　必要条件でも十分条件でもない
[解答へ]

[2]　a，bを定数とし、とする。2次関数
　　　　･･･①
のグラフが点を通るとする。
このとき、
　　　
であり、グラフの原点の座標をaを用いて表すと
　　　
である。
さらに、2次関数①のグラフの頂点のy座標がであるとする。
このとき、aは
　　　
を満たす。これより、aの値は
　　　
である。
以下、であるとする。
このとき、2次関数①のグラフの頂点のx座標はであり、①のグラフとx軸の2交点のx座標は，である。
ただし、，は解答の順序を問わない。
また、関数①はにおいて
のとき、最小値をとり
のとき、最大値をとる。
[解答へ]

[3]　△ABCにおいて、，，とする。
また、△ABCの外接円の中心をOとする。
このとき、であり、外接円Oの半径はである。
外接円O上の点Aを含まない弧BC上に点Dをであるようにとる。であるから、とするとxは2次方程式
　　　
を満たす。であるからとなる。
下のには、次の～のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

AC　 AD　 AE　 BA　 CD　 ED

点Aにおける外接円Oの接線と辺DCの延長との交点をEとする。このとき、であるから、△ACEと△は相似である。
これより、
　　　
である。また、である。したがって
　　　
であり、△ACEの面積はである。
[解答へ]

[4]　さいころを3回投げ、次の規則にしたがって文字の列を作る。ただし、何も書かれていないときや文字が1つだけのときも文字の列と呼ぶことにする。

1回目は次のようにする。

・出た目の数が1，2のときは、文字Aを書く
・出た目の数が3，4のときは、文字Bを書く
・出た目の数が5，6のときは、何も書かない

2回目、3回目は次のようにする。

・出た目の数が1，2のときは、文字の列の右側に文字Aを1つ付け加える
・出た目の数が3，4のときは、文字の列の右側に文字Bを1つ付け加える
・出た目の数が5，6のときは、いちばん右側の文字を削除する。ただし、何も書かれていないときはそのままにする

以下の問いでは、さいころを3回投げ終わったときにできる文字の列について考える。

(1) 文字の列がAAAとなるさいころの目の出方は通りである。
文字の列がABとなるさいころの目の出方は通りである。

(2) 文字の列がAとなる確率はであり、何も書かれていない文字の列となる確率はである。

(3) 文字の列の字数が3となる確率はであり、字数が2となる確率はである。また、文字の列の字数の期待値はである。ただし、何も書かれていないときの字数は0とする。
[解答へ]



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