センター試験数学IA 2010年問題
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[1] [1] とする。αの分母を有理化すると となる。2次方程式の解は [2] 次の〜に当てはまるものを、下の〜のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。また、に当てはまるものを、下の〜のうちから一つ選べ。
自然数nに関する条件p,q,r,sを次のように定める。
p:nは5で割ると1余る数である。
q:nは10で割ると1余る数である。
r:nは奇数である。
s:nは2より大きい素数である。
また、条件rの否定を,条件sの否定をで表す。このとき 「pかつr」はqであるための。
はであるための。
「pかつs」は「qかつs」であるための。 [解答へ]
[2] a,bを実数とし、xの二つの2次関数
・・・@
・・・A のグラフをそれぞれ,とする。
以下では、の頂点は上にあるとする。
このとき
であり、の頂点の座標をaを用いて表すと
となる。
のとき、の軸は直線であり、とx軸との交点のx座標は である。
のとき、をx軸方向に,y軸方向にも同じくだけ平行移動しても頂点は上にある。ただし、は0でない数とする。 [解答へ]
[3] を,,である直角三角形とする。
(1) の内接円の中心をOとし、円Oが3辺BC,CA,ABと接する点をそれぞれP,Q,Rとする。このとき、である。また、 であり、である。 (2) 円Oと線分APとの交点のうちPと異なる方をSとする。このとき、
であり、である。また、点Sから辺BCへ垂線を下ろし、垂線とBCとの交点をHとする。このとき , である。したがって、である。 (3) 円O上に点Tを線分RTが円Oの直径となるようにとる。このとき、
[解答へ]
[4] 袋の中に赤玉5個、白玉5個、黒玉1個の合計11個の玉が入っている。赤玉と白玉にはそれぞれ1から5までの数字が一つずつ書かれており、黒玉には何も書かれていない。なお、同じ色の玉には同じ数字は書かれていない。この袋から同時に5個の玉を取り出す。
5個の玉の取り出し方は通りある。
取り出した5個の中に同じ数字の赤玉と白玉の組が2組あれば得点は2点、1組だけあれば得点は1点、1組もなければ得点は0点とする。
(1) 得点が0点となる取り出し方のうち、黒玉が含まれているのは通りであり、黒玉が含まれていないのは通りである。 得点が1点となる取り出し方のうち、黒玉が含まれているのは通りであり、黒玉が含まれていないのは通りである。 (2) 得点が1点である確率はであり、2点である確率はである。 また、得点の期待値はである。 [解答へ]
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