センター数学IA '11年第2問
a，b，cを定数とし、
，
とする。xの2次関数
･･･①
のグラフと同じ軸をもつとき
･･･②
を通るとき
･･･③
以下、②，③のとき、2次関数①とそのグラフGを考える。
(1) Gとx軸が異なる2点で交わるようなbの値の範囲は
，
である。さらに、Gとx軸の正の部分が異なる2点で交わるようなbの値の範囲は
である。
(2) 
とする。 
における2次関数①の最小値が
であるとき、
である。一方、
における2次関数①の最大値が3であるとき、
である。
，
のときの①のグラフをそれぞれ
，
とする。
をx軸方向に
，y軸方向に
だけ平行移動すれば、
と一致する。
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解答 計算がラクになるように配慮されていますが、センター試験としては、比較的高度な問題です。a，b，cの値、相互関係に注意して解答を進めます。
①右辺を平方完成して、
①のグラフGの軸は、
です。
の軸は
ですが、
と一致するので、
より、
(ア) － (イ) 1 (ウ) 4 ......[答]
これで①は、
となりますが、
を通るので、
∴ 
(エ) 3 (オ) 4 ......[答]
これも入れると、①は、
･･･④
(1) Gとx軸が異なる2点で交わるので、④で
としてできる2次方程式、 は、相異なる2実数解をもち、判別式Dについて、
∴ 
，
･･･⑤(カ) － (キ) 3 (ク) 2 (ケ) 1 (コ) 2 ......[答]さらに、Gとx軸の正の部分が異なる2点で交わるので、⑤に付け加えて、
④の軸
について、
･･･⑥ (2次方程式の解の配置を参照)
Gのグラフが上に凸であることから、区間端(
)において
であって、 
･･･⑦⑤ かつ ⑥ かつ ⑦より、
(サ) 1 (シ) 2 (ス) 3 (セ) 4 ......[答]
(2) Gの軸が
にあって、上に凸なので、
においては、2次関数①は単調増加です。④より、①は
で最小値
をとり、これが
となることから、 ∴ 
(ソ) 1 (タ) 2 ......[答]
という範囲はGの軸の位置を含むので、④を平方完成して、 
･･･⑥
より、
(チ) 3 (ツ) 2 ......[答]④で
として、
は、⑥で
として、
は、 
から
への平行移動は、頂点の移動で考えます。
の頂点は
，
の頂点は
にあり、
をx軸方向に2，y軸方向に3だけ平行移動すれば、
と一致します。(テ) 2 (ト) 3 ......[答]
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