センター試験数学IA 2013年問題　


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[1][1]　，とする。
このとき

であり、また

である。以上により

となる。
[2]　三角形に関する条件p，q，rを次のように定める。
p：三つの内角がすべて異なる。
q：直角三角形でない
r：の内角は一つもない
条件pの否定をで表し、同様に，はそれぞれ条件q，rの否定を表すものとする。
(1) 命題「r ⇒ (p または q)」の対偶は「 ⇒ 」である。
に当てはまるものを、次の～のうちから一つ選べ。
　(p かつ q)　　　　( かつ )
　( または q)　　　( または )
(2) 次の～のうち、命題「(p または q) ⇒ r」に対する反例となっている三角形はとである。
とに当てはまるものを、～のうちから一つずつ選べ。ただし、との解答の順序は問わない。
　直角二等辺三角形
　内角が，，の三角形
　正三角形
　三辺の長さが3，4，5の三角形
　頂角がの二等辺三角形
(3) rは(p または q)であるための。
に当てはまるものを、次の～のうちから一つ選べ。
　必要十分条件である
　必要条件であるが、十分条件ではない
　十分条件であるが、必要条件ではない
　必要条件でも十分条件でもない
[解答へ]

[2]　座標平面上にある点Pは、点Aから出発して、直線上をx座標が1秒あたり2増加するように一定の速さで動く。また、同じ座標平面上にある点Qは、点PがAを出発すると同時に原点Oから出発して、直線上をx座標が1秒あたり1増加するように一定の速さで動く。出発してからt秒後の2点P，Qを考える。点PがOに達するのはのときである。以下、で考える。
(1) 点Pとx座標が等しいx軸上の点を，点Qとx座標が等しいx軸上の点をとおく。との面積の和Sをt で表せば
となる。これよりにおいては、でSは最小値をとる。
次に、aをを満たす定数とする。以下、におけるSの最小・最大について考える。
(i) Sがで最小となるようなaの値の範囲は
である。
(ii) Sがで最大となるようなaの値の範囲はである。
(2) 3点O，P，Qを通る2次関数のグラフが関数のグラフを平行移動したものになるのは、のときであり、x軸方向に，y軸方向にだけ平行移動すればよい。
[解答へ]

[3]　点Oを中心とする半径3の円Oと、点Oを通り、点Pを中心とする半径1の円Pを考える。円Pの点Oにおける接線と円Oとの交点をA，Bとする。また、円Oの周上に、点Bと異なる点Cを、弦ACが円Pに接するようにとる。弦ACと円Pの接点をDとする。このとき
，
である。さらに、であり、である。
の面積はであり、の内接円の半径はである。
(1) 円Oの周上に、点Eを線分CEが円Oの直径となるようにとる。の内接円の中心をQとし、の内接円の中心をRとする。このとき、である。したがって、内接円Qと内接円Rは。
に当てはまるものを、次の～のうちから一つ選べ。
　内接する　　　　　異なる2点で交わる
　外接する　　　　　共有点を持たない
(2) であるから、となる。
したがって、。
に当てはまるものを、次の～のうちから一つ選べ。
　点Pは内接円Qの周上にある
　点Qは円Pの周上にある
　点Pは内接円Qの内部にあり、点Qは円Pの内部にある
　点Pは内接円Qの内部にあり、点Qは円Pの外部にある
[解答へ]

[4](1) 1から4までの数字を、重複を許して並べてできる4桁の自然数は、全部で個ある。
(2) (1)の個の自然数のうちで、1から4までの数字を重複なく使ってできるものは個ある。
(3) (1)の個の自然数のうちで、1331のように、異なる二つの数字を2回ずつ使ってできるものの個数を、次の考え方に従って求めよう。
(i) 1から4までの数字から異なる二つを選ぶ。この選び方は通りある。
(ii) (i)で選んだ数字のうち小さい方を、一・十・百・千の位のうち、どの2箇所に置くか決める。置く2箇所の決め方は通りある。小さい方の数字を置く場所を決めると、大きい方の数字を置く場所は残りの2箇所に決まる。
(iii) (i)と(ii)により、求める個数は個である。
(4) (1)の個の自然数を、それぞれ別々のカードに書く。できた枚のカードから1枚引き、それに書かれた数の四つの数字に応じて、得点を次のように定める。
・四つとも同じ数字のとき　　　　　　　9点
・2回現れる数字が二つあるとき 　　　　3点
・3回現れる数字が一つと、
1回だけ現れる数字が一つあるとき 　　2点
・2回現れる数字が一つと、
1回だけ現れる数字が二つあるとき 　　1点
・数字の重複がないとき　　　　　　　　0点
(i) 得点が9点となる確率は，得点が3点となる確率はである。
(ii) 得点が2点となる確率は，得点が1点となる確率はである。
(iii) 得点の期待値は点である。
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