共通テスト数学IA '24年第4問 

T3T4T6を次のようなタイマーとする。
T33進数を3桁表示するタイマー
T44進数を3桁表示するタイマー
T66進数を3桁表示するタイマー
なお、n進数とはn進法で表された数のことである。
これらのタイマーは、すべて次の
表示方法に従うものとする。

表示方法−−−−−−−−−−−
(a) スタートした時点でタイマーは000と表示されている。
(b) タイマーは、スタートした後、表示される数が1秒ごとに1ずつ増えていき、3桁で表示できる最大の数が表示された1秒後に、表示が000に戻る。
(c) タイマーは表示が000に戻った後も、(b)と同様に、表示される数が1秒ごとに1ずつ増えていき、3桁で表示できる最大の数が表示された1秒後に、表示が000に戻るという動作を繰り返す。
−−−−−−−−−−−−−−−−

例えば、T3はスタートしてから3進数で秒後に012と表示される。その後、222と表示された1秒後に表示が000に戻り、その秒後に再び012と表示される。
(1) T6は、スタートしてから10進数で40秒後にと表示される。
T4は、スタートしてから2進数で秒後にと表示される。

(2) T4をスタートさせた後、初めて表示が000に戻るのは、スタートしてから10進数で秒後であり、その後も秒ごとに表示が000に戻る。
同様の考察をT6に対しても行うことにより、T4T6を同時にスタートさせた後、初めて両方の表示が同時に000に戻るのは、スタートしてから10進数で秒後であることがわかる。

(3) 0以上の整数に対して、T4をスタートさせた秒後にT4012と表示されることと
で割った余りがであること
は同値である。ただし、10進法で表されているものとする。
T3についても同様の考察を行うことにより、次のことがわかる。
T3T4を同時にスタートさせてから、初めて両方が012と表示されるまでの時間をm秒とするとき、m10進数でと表される。
また、
T4T6の表示に関する記述として、次ののうち、正しいものはである。

の解答群
 T4T6を同時にスタートさせてから、m秒後より前に初めて両方が同時に012と表示される。
 T4T6を同時にスタートさせてから、ちょうどm秒後に初めて両方が同時に012と表示される。
 T4T6を同時にスタートさせてから、m秒後より後に初めて両方が同時に012と表示される。
 T4T6を同時にスタートさせてから、両方が同時に012と表示されることはない。


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解答 n進数と、最小公倍数不定方程式の問題です。

(1) 10進数の40は、より、6進数では、です。 アイウ 104 ......[]

より、4進数では、です。 エオカ 103 ......[]

(2) 4進数の10進数では、です。 キク 64 ......[]
6進数の10進数では、です。T4T6が同時に000に戻るのは、の最小公倍数がであることから、1728秒後です。 ケコサシ 1728 ......[]

(3) 4進数の10進数ではなので、
T4秒後に012と表示される 64で割った余りが6であること
スセ
64 ソ 6 ......[]
3
進数のは、10進数ではです。
T3000x回戻り、T4000y回戻った後に、同時に012と表示されたとすると、その時刻は、です。つまり、
 ・・・@
6427互除法の計算を行うと、



よって、

つまり、 ・・・A
@−Aより、

2764は互いに素なので、 (k:整数)

xyが最も小さな自然数になるのはのときで、
このとき時刻は、秒後 タチツ
518 ......[]
6
進数のは、10進数では、です。
T6000z回戻った後に012と表示されたとすると、T4T6が同時に012と表示されたとして、その時刻は、です。つまり、
左辺は偶数ですが、右辺の1は奇数です。この式を満たすyzは存在しません。T4T6を同時にスタートさせてから、両方が同時に012と表示されることはありません。 テ 3 ......[]


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