共通テスト数学IA '24年第4問
T3，T4，T6を次のようなタイマーとする。
T3：3進数を3桁表示するタイマー
T4：4進数を3桁表示するタイマー
T6：6進数を3桁表示するタイマー
なお、n進数とはn進法で表された数のことである。
これらのタイマーは、すべて次の表示方法に従うものとする。
－表示方法－－－－－－－－－－－
(a) スタートした時点でタイマーは000と表示されている。
(b) タイマーは、スタートした後、表示される数が1秒ごとに1ずつ増えていき、3桁で表示できる最大の数が表示された1秒後に、表示が000に戻る。
(c) タイマーは表示が000に戻った後も、(b)と同様に、表示される数が1秒ごとに1ずつ増えていき、3桁で表示できる最大の数が表示された1秒後に、表示が000に戻るという動作を繰り返す。
－－－－－－－－－－－－－－－－
例えば、T3はスタートしてから3進数で
秒後に012と表示される。その後、222と表示された1秒後に表示が000に戻り、その
秒後に再び012と表示される。
(1) T6は、スタートしてから10進数で40秒後に
と表示される。 T4は、スタートしてから2進数で
秒後に
と表示される。
(2) T4をスタートさせた後、初めて表示が000に戻るのは、スタートしてから10進数で
秒後であり、その後も
秒ごとに表示が000に戻る。 同様の考察をT6に対しても行うことにより、T4とT6を同時にスタートさせた後、初めて両方の表示が同時に000に戻るのは、スタートしてから10進数で
秒後であることがわかる。
(3) 0以上の整数
に対して、T4をスタートさせた
秒後にT4が012と表示されることと は同値である。ただし、
と
は10進法で表されているものとする。T3についても同様の考察を行うことにより、次のことがわかる。T3とT4を同時にスタートさせてから、初めて両方が012と表示されるまでの時間をm秒とするとき、mは10進数で
と表される。
また、T4とT6の表示に関する記述として、次の
～
のうち、正しいものは
である。
の解答群 T4とT6を同時にスタートさせてから、m秒後より前に初めて両方が同時に012と表示される。 
T4とT6を同時にスタートさせてから、ちょうどm秒後に初めて両方が同時に012と表示される。
T4とT6を同時にスタートさせてから、m秒後より後に初めて両方が同時に012と表示される。 T4とT6を同時にスタートさせてから、両方が同時に012と表示されることはない。
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解答 n進数と、最小公倍数、不定方程式の問題です。
(1) 10進数の40は、
より、6進数では、
です。 アイウ 104 ......[答]
より、4進数では、
です。 エオカ 103 ......[答]
(2) 4進数の
は10進数では、
です。 キク 64 ......[答] 6進数の
は10進数では、
です。T4とT6が同時に000に戻るのは、
と
の最小公倍数が
であることから、1728秒後です。 ケコサシ 1728 ......[答]
(3) 4進数の
は10進数では
なので、
T4が
秒後に012と表示される ⇔ 
を64で割った余りが6であること
スセ 64 ソ 6 ......[答]
3進数の
は、10進数では
です。T3が000にx回戻り、T4が000にy回戻った後に、同時に012と表示されたとすると、その時刻は、
です。つまり、 
･･･①よって、
つまり、
･･･②
①－②より、
27と64は互いに素なので、
，
(k：整数)∴ 
，
x，yが最も小さな自然数になるのは
のときで、
，
このとき時刻は、
秒後 タチツ 518 ......[答]
6進数の
は、10進数では、
です。T6が000にz回戻った後に012と表示されたとすると、T4とT6が同時に012と表示されたとして、その時刻は、
です。つまり、 左辺は偶数ですが、右辺の1は奇数です。この式を満たすy，zは存在しません。T4とT6を同時にスタートさせてから、両方が同時に012と表示されることはありません。 テ 3 ......[答]
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を
で割った余りが
であること
，
，
，
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