共通テスト数学IA '25年第1問
[1] a，bを実数とする。xについての方程式
･･･①を考える。
(1) 
とする。 bに着目すると、①の左辺は
･･･②と表せる。よって、②を因数分解すると
となる。したがって、
は①の解の一つであることがわかる。
(2) 
とする。 (i) ①の左辺を因数分解すると
となる。
(ii) 
のとき、①の解は となる。
(iii) 
であることは、(1)の解が
だけであるための
。 
の解答群
必要条件であるが、十分条件ではない
十分条件であるが、必要条件ではない
必要十分条件である
必要条件でも十分条件でもない
[2] 図1のように、直線
上の点Aにおいて
に接する半径2の円を円Oとし、
上の点Bにおいて
に接する半径4の円を円
とする。円Oと円
は2点で交わるとし、その交点をP，Qとする。ただし、
とする。さらに、
は鋭角であるとする。このとき、△PABと△QABについて考えよう。
(1) 
，
とおく。 円Oの中心Oから直線PAに引いた垂線と直線PAとの交点をHとする。
であるから、
である。よって、△OAHに着目すると、
であるから 
･･･①である。
同様にして、円
の中心
から直線PBに引いた垂線と直線PBとの交点を
とすると 
･･･②であることもわかる。
また、△PABの外接円の半径を
とおくと、正弦定理により が成り立つので
である。この式に①と②を代入することにより
となることがわかる。さらに
が得られる。
，
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい) α β
(2) 太郎さんと花子さんは、(1)の考察を振り返っている。
太郎：△QABの外接円の半径も求められるかな。
花子：(1)の
の求め方を参考にすればよさそうだね。 △PAB，△QABの外接円の半径をそれぞれ
，
とおく。このとき、
である。さらに、
であることもわかる。 
，
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)
(3) 太郎さんと花子さんは、これまでの考察をもとに、△PABと△QABの辺の長さについて考えている。
太郎：ABの長さが与えられれば、PAとQAの長さが求められそうだね。
花子：
に注意して求めてみようよ。 
とする。このときである。(1)より、
であるから である。
同様に、
であることがわかる。
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解答 新課程となり最初の試験ですが、まずは軽く肩慣らし、という問題です。途中、引っかかる部分もありますが、カンで答えた方が良いかも知れません。
(1) 
のとき①は、 ア 2 イ 8 ......[答]
(2) 
のとき①は、 (i) よって、
ウ 2 エ 5 オ 3 カ 2 ......[答]
であれば、
です。 (ii) 
のとき、①の解は、
以外に、 キ 6 ク 4 ......[答]
(iii) (iii)においても
の場合を考えていることに注意してください。
のとき③は1次方程式
となるので、解は
だけです。「
⇒ ①の解が
だけ」が成立します。 逆に、①の解が
だけの場合、③で
のときにも
となり、2次方程式③が重解
を持つので、「①の解が
だけ ⇒ 
」は成立しません。よって、
のとき、「
」であることは、「①の解が
だけである」ための、十分条件ですが、必要条件ではありません(条件・命題を参照)。ケ 1 ......[答]
[2](1) 
なので、
です。同様に、
です。△OAHに着目すると、
です。コ 2 ......[答]よって、
･･･①
サ 4 ......[答]同様に、
･･･②
シ 8 ......[答]△PABの外接円の半径を
として、正弦定理より、 
･･･③ス 1 セ 0 ......[答]よって、
ここに①と②を代入すると、 
∴ 
ソ 2 ......[答]
これを③に代入して、
タ 2 チ 2 .......[答]
(2) 
，
とすると、(1)と同様に
，
，△QABの外接円の半径を
として、正弦定理より、 
･･･④
となり、
④に代入して、
つまり、
です。ツ 1 ......[答]③，④より、
，
･･･⑤
より、
です。テ 1 ......[答]
，
，⑤より、
∴ 
ト 1 ナ 4 ニ 4 ......[答]よって
は鋭角なので、 ヌ 1 ネ 4 ......[答]
は鈍角なので
であって、同様に、
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･･･③
∴ 
，
･･･① 
なので、