センター試験数学IIB 2006年問題
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[1][1] の範囲で関数を考える。
とおけば
であるから、とおくと
である。したがって、yの最大値はであり、最小値はである。
また、αがを満たす角度でのとき
である。
[2] 不等式
・・・・・・(*)
が成り立つようなxの値の範囲を求めよう。
(1) 不等式(*)において、xは対数の底であるから
かつ
を満たさなければならない。また
である。
(2) 不等式(*)は
のとき
のとき
と変形できる。したがって、求めるxの値の範囲は
,
である。
[解答へ]
[2] aを正の実数として、,をそれぞれ次の2次関数のグラフとする。
:
:
また、との両方に接する直線をlとする。
(1) 点におけるの接線の方程式は
であり、この直線がに接するのはのときである。
したがって、直線lの方程式は
であり、lとの接点の座標は
である。
(2) との交点をPとすると、Pの座標は
である。点Pを通って直線lに平行な直線をmとする。直線mの方程式は
である。直線mとy軸との交点のy座標が正となるようなaの値の範囲はである。
のとき、のの部分と直線mおよびy軸で囲まれた図形の面積Sはaを用いて
と表される。
[解答へ]
[3] a,b,cを相異なる実数とする。数列は等差数列で、最初の3項が順にa,b,cであるとし、数列は等比数列で、最初の3項が順にc,a,bであるとする。
(1) bとcはaを用いて
,
と表され、等差数列の公差はである。
(2) 等比数列の公比はであるから、の初項から第8項までの和は、aを用いて
と表される。
(3) 数列は最初の3項が順にb,c,aであり、その階差数列が等差数列であるとする。このとき、の公差はであり、の一般項は
である。したがって、数列の一般項は、aを用いて
と表される。
[解答へ]
[4] 平面上の三つのベクトル,,は
を満たし、はに垂直で、であるとする。
(1) との内積は
である。また
であり、とのなす角はである。
(2) ベクトルをとで表すと
である。
(3) x,yを実数とする。ベクトルが
,
を満たすための必要十分条件は
,
である。xとyが上の範囲を動くとき、は最大値をとり、この最大値をとるときのをとで表すと
である。
[解答へ]
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