センター試験数学IIB 2006年問題
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[1][1] 
の範囲で関数
を考える。
とおけば
であるから、
とおくと
である。したがって、yの最大値は
であり、最小値は
である。
また、αが
を満たす角度で
のとき
である。
[2] 不等式
･･････(＊)
が成り立つようなxの値の範囲を求めよう。
(1) 不等式(＊)において、xは対数の底であるから
かつ 
を満たさなければならない。また
である。
(2) 不等式(＊)は
のとき
のとき
と変形できる。したがって、求めるxの値の範囲は
，
である。
[解答へ]
[2] aを正の実数として、
，
をそれぞれ次の2次関数のグラフとする。
：
：
また、
と
の両方に接する直線をlとする。
(1) 点
における
の接線の方程式は
であり、この直線が
に接するのは
のときである。
したがって、直線lの方程式は
であり、lと
の接点の座標は
である。
(2) 
と
の交点をPとすると、Pの座標は
である。点Pを通って直線lに平行な直線をmとする。直線mの方程式は
である。直線mとy軸との交点のy座標が正となるようなaの値の範囲は
である。
のとき、
の
の部分と直線mおよびy軸で囲まれた図形の面積Sはaを用いて
と表される。
[解答へ]
[3] a，b，cを相異なる実数とする。数列
は等差数列で、最初の3項が順にa，b，cであるとし、数列
は等比数列で、最初の3項が順にc，a，bであるとする。
(1) bとcはaを用いて
，
と表され、等差数列
の公差は
である。
(2) 等比数列
の公比は
であるから、
の初項から第8項までの和は、aを用いて
と表される。
(3) 数列
は最初の3項が順にb，c，aであり、その階差数列
が等差数列であるとする。このとき、
の公差は
であり、
の一般項は
である。したがって、数列
の一般項は、aを用いて
と表される。
[解答へ]
[4] 平面上の三つのベクトル
，
，
は
を満たし、
は
に垂直で、
であるとする。
(1) 
と
の内積は
である。また
であり、
と
のなす角は
である。
(2) ベクトル
を
と
で表すと
である。
(3) x，yを実数とする。ベクトル
が
，
を満たすための必要十分条件は
，
である。xとyが上の範囲を動くとき、
は最大値
をとり、この最大値をとるときの
を
と
で表すと
である。
[解答へ]
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