センター数学IIB '07年第3問
三つの数列
,
,
がある。
(1) 数列
は、初項が
で、漸化式
(
)を満たすとする。このとき

である。数列
の初項から第n項までの和
は

である。また、
となる最小の自然数nは
である。
(2) 第n項が
で与えられる数列
は、初項が0で公差がdの等差数列になり、第n項が
で与えられる数列
は、初項がxで公比がrの等比数列になるとする。このとき
は 
と表される。
(3) 数列
,
,
は(1),(2)を満たすとする。さらに、第n項が
で与えられる数列
の階差数列は、数列
であるとする。このとき 
であるから、(1)より
,
,
である。したがって、数列
,
の第n項は、それぞれ


である。
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・・・@ (
)において、
,
をxに置き換え、
・・・A

@−Aを作ると、
これは、
が、初項:
,公比:3の等比数列であることを意味します。
∴
∴
・・・B(ア) 3 (イウ) 30 ......[答]数列
の初項から第n項までの和
は(等比数列を参照)、
(エ) 3 (オ) 2 (カ) 3 (キ) 1 ......[答]
,
,
,
,
となる最小の自然数nは5
(ク) 5 ......[答]
・・・D
C×2+Dより、
∴
・・・E
C−D×2より、
∴
・・・E
D+Eより、
・・・F(ケ) 3 (コ) 5 (サ) 1 (シ) 5 ......[答]
これが、
に等しいので、Bより、

両辺を見比べて、
∴ 

∴ 
(ス) 3 (セソタ) −15 (チ) 2 (ツテト) −50 ......[答]Eより、
∴
Fより、
∴ 
(ナ) 3 (ニ) 2 (ヌネ) 20 (ノ) 3 (ハヒ) 10 ......[答]
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