センター試験数学IIB 2008年問題 


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[1][1] 実数xyは、
    ・・・()
を満たしている。このとき
   
の最小値を求めよう。
真数の条件によりである。ただし、対数に対し、
aを底といい、bを真数という。次に、()により
   
である。とおくと、であるから、
zのとり得る値の範囲は
   
となる。さらに
   
となるから、
Kのとき、最小値をとる。このとき、である。

[2] aを正の定数とする。点Oを原点とする座標平面において、中心がOで、半径が1の円と半径2の円をそれぞれとする。を満たす実数θ に対して、角の動径ととの交点をPとし、角の動径ととの交点をQとする。ここで、動径はOを中心とし、その始線はx軸の正の部分とする。

(1) のとき、Qの座標はである。

(2) 3OPQがこの順に一直線上にあるような最小のθ の値は
   
である。
θ
   
の範囲を動くとき、円において点
Qの軌跡を弧とする扇形の面積は
   
である。
(3) 線分PQの長さの2
   
である。
(4) xの関数
とおき、の正の周期のうち最小のものがであるとすると、である。
[解答へ]


[2] aを正の実数とし、x2次関数
   
   
とする。また、放物線およびをそれぞれとする。


(1) の共有点をPとすると、点Pの座標はである。また、点Pにおけるの接線の方程式は
   
である。

(2) x軸および直線で囲まれた図形の面積はである。また、x軸の交点のx座標はであり、x軸で囲まれた図形の面積はである。

(3) の範囲で、二つの放物線2直線で囲まれた図形をRとする。Rの中で、を満たすすべての部分の面積
のとき 
のとき
   
のとき 
である。したがって、aの範囲を動くとき、で最小値をとる。
[解答へ]


[3](1) 数列は初項が7,公差がの等差数列とする。数列の一般項は
   
であり、初項から第
n項までの和は
   
である。

(2) 数列は、第n項が
   
という
n2次式で表され
    
() ・・・@
を満たすとする。このとき
   
であり、である。
さらに、次の条件によって定まる数列を考えよう。
   
    
() ・・・A
@とAより、とおくと
    
()
が成り立つ。これより、数列の一般項は
   
である。
数列の初項から第
n項までの和となる。
[解答へ]


[4] 四面体OABCにおいて、である。とおく。
(1) であり、である。
また、である。

(2) 直線AB上の点Pであるようにとると
   
となり、点
Pは線分AB1に内分する。また、であり、である。
は三角形の各辺と垂直であるから、直線
CPは三角形を含む平面に垂直である。ただし、については、当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
ABC   OBC   OAC   OAB
三角形の面積はであるから、四面体OABCの体積はである。
[解答へ]



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