センター試験数学IIB 2008年問題
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[1][1] 実数x,yは、
・・・(*)を満たしている。このとき
の最小値を求めよう。
真数の条件によりである。ただし、対数に対し、aを底といい、bを真数という。次に、(*)により
である。とおくと、であるから、zのとり得る値の範囲は
となる。さらに
となるから、Kはのとき、最小値をとる。このとき、,である。
[2] aを正の定数とする。点Oを原点とする座標平面において、中心がOで、半径が1の円と半径2の円をそれぞれ,とする。を満たす実数θ に対して、角の動径ととの交点をPとし、角の動径ととの交点をQとする。ここで、動径はOを中心とし、その始線はx軸の正の部分とする。
(1) のとき、Qの座標はである。
(2) 3点O,P,Qがこの順に一直線上にあるような最小のθ の値は
である。θ が
の範囲を動くとき、円において点Qの軌跡を弧とする扇形の面積は
である。 (3) 線分PQの長さの2乗は
である。 (4) xの関数を とおき、の正の周期のうち最小のものがであるとすると、である。 [解答へ]
[2] aを正の実数とし、xの2次関数,を
とする。また、放物線およびをそれぞれ,とする。
(1) との共有点をPとすると、点Pの座標はである。また、点Pにおけるの接線の方程式は
である。
(2) とx軸および直線で囲まれた図形の面積はである。また、とx軸の交点のx座標は,であり、とx軸で囲まれた図形の面積はである。
(3) の範囲で、二つの放物線,と2直線,で囲まれた図形をRとする。Rの中で、を満たすすべての部分の面積は である。したがって、aがの範囲を動くとき、はで最小値をとる。 [解答へ]
[3](1) 数列は初項が7,公差がの等差数列とする。数列の一般項は
であり、初項から第n項までの和は
である。
(2) 数列は、第n項が
というnの2次式で表され
() ・・・@
を満たすとする。このとき
,,
であり、である。
さらに、次の条件によって定まる数列を考えよう。
() ・・・A
@とAより、とおくと
()が成り立つ。これより、数列の一般項は
である。
数列の初項から第n項までの和はとなる。 [解答へ]
[4] 四面体OABCにおいて、,である。,,とおく。
(1) であり、である。 また、,である。
(2) 直線AB上の点Pをであるようにとると
となり、点Pは線分ABを1:に内分する。また、であり、である。
は三角形の各辺と垂直であるから、直線CPは三角形を含む平面に垂直である。ただし、については、当てはまるものを、次の〜のうちから一つ選べ。 ABC OBC OAC OAB三角形の面積はであるから、四面体OABCの体積はである。 [解答へ]
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