センター数学IIB '08年第1問
[1] 実数x，yは、
･･･(＊)を満たしている。このとき
の最小値を求めよう。
真数の条件により
である。ただし、対数
に対し、aを底といい、bを真数という。次に、(＊)により
である。
とおくと、
であるから、zのとり得る値の範囲は
となる。さらに
となるから、Kは
のとき、最小値
をとる。このとき、
，
である。
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解答 真数条件より、
(対数関数を参照)
(ア) 0 ......[答]
と(＊)より、
(イ) 3 ......[答]
とおくと、
･･･①
(ウ) 1 (エ) 3 ......[答]
(オ) 1 (カ) 3 ......[答]
zは正だから、相加平均・相乗平均の関係より、
不等号の等号は、
つまり
(
)のときに成り立ちます。
(キ) 1 (ク) 5 (ケ) 3 ......[答]
このとき、
より、
だから、
(コ) 1 ......[答]
①より、
底が5の対数をとって、
∴ 
(サ) 5 (シ) 2 ......[答]
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[2] aを正の定数とする。点Oを原点とする座標平面において、中心がOで、半径が1の円と半径2の円をそれぞれ
，
とする。
を満たす実数θ に対して、角
の動径と
との交点をPとし、角
の動径と
との交点をQとする。ここで、動径はOを中心とし、その始線はx軸の正の部分とする。
(1) 
のとき、Qの座標は
である。
(2) 3点O，P，Qがこの順に一直線上にあるような最小のθ の値は
である。θ が
の範囲を動くとき、円
において点Qの軌跡を弧とする扇形の面積は
である。 (3) 線分PQの長さの2乗
は 
である。 (4) xの関数
を とおき、
の正の周期のうち最小のものが
であるとすると、
である。
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解答 (3)は、余弦定理でOKですが、出題者は、三角関数で計算させようとしているようなので、三角関数でやってみます。
点Pは、半径1の円周上の点で、座標は、
，点Qは、半径2の円周上の点で、座標は、
です。
(1) 
のとき、Qの座標は、 (ス) 3 (セ) 1 ......[答]
(2) 3点O，P，Qがこの順に一直線上にある場合、
(ソ) 3 (タ) 6 (チ) 2 ......[答]
のとき、
なので、円
において点Qの軌跡を弧とする扇形の頂角は、 この扇形の面積は、
(ツ) 1 (テ) 3 (ト) 1 ......[答]
(3) 
(ナ) 5 (ニ) 4 (ヌ) 3 (ネ) 1 (ノ) 3 ......[答]
∴ 
(ハ) 1 (ヒ) 6 ......[答]
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