センター試験数学IIB 2009年問題
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[1][1] 
，
，
のとき、
の最大値を求めよう。
となる。また
が成り立つから、zは
，
のとき最大値
をとる。したがって、zは
，
のとき最大値
をとる。 [2] 
の範囲で 
･･･(＊)を満たすθ について考えよう。
方程式(＊)を
を用いて表すと となる。したがって、
より であり、
の範囲でこの等式を満たすθ のうち、小さい方を
，大きい方を
とすると 
，
である。
について不等式
が成り立つ。
に当てはまるものを、次の
～
のうちから一つ選べ。 
ただし、必要ならば、次の値 
，
を用いてもよい。
さらに、不等式
を満たす自然数nのうち最小のものは
である。 [解答へ]
[2] 放物線
をC，点
をAとする。
点Q
に関して、点Aと対称な点をP
とすると、
，
である。
二つの放物線CとDの交点をRとSとする。ただし、x座標の小さい方をRとする。点R，Sのx座標はそれぞれ
，
で、点R，Sにおける放物線Dの接線の方程式はそれぞれ
，
Pを放物線D上の点とし、Pのx座標をaとおく。Pからx軸に引いた垂線と放物線Cとの交点をHとする。
のとき、三角形PHRの面積
は
と表される。
は
のとき、最大値をとる。
のとき、直線HRと放物線Dの交点のうち、Rと異なる点のx座標は
である。このとき、
の範囲で、放物線Dと直線PHおよび直線HRで囲まれた図形の面積は
である。
[解答へ]
[3] 
を初項
が1で公比が
の等比数列とする。数列
の偶数番目の項を取り出して、数列
を
(
)で定める。
とおく。
(1) 
も等比数列であり、その初項は
，公比
である。 したがって
である。また、積
を求めると となる。
(
)が成り立つから
･･･①である。また、この左辺の和をまとめ直すと、
，
，
を用いて 
･･･②と表される。
①と②より
となる。
[解答へ]
[4] Oを原点とする座標空間における5点をA
，B
，C
，D
，E
とする。ひし形BCDEを底面とする四角錐A-BCDEと、平面ABCに平行な平面との共通部分について考える。
(1) 
であり、三角形ABCの面積は
である。 (2) 
，
とおく。
とし、点
を線分BEをa：
に内分する点とすると、
である。点
を で定め、線分
と線分AEが交わることを示そう。
上の点Pは、
を満たすbを用いて と表される。また、AE上の点Qは、
を満たすcを用いて と表される。PとQは
のとき一致するから、線分
とAEは、AEを
：
に内分する点で交わることがわかる。この点を
とする。
点
を で定めると、同様に考えることにより、線分
と線分ADも、ADを
：
に内分する点で交わることがわかる。この点を
とすると であり、三角形
は三角形ABCと平行であるから、四角形
の面積は である。
また
[解答へ]
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，
とおくと、s，t，
のとり得る値の範囲はそれぞれ
，
，
を
(
)で定め、
とおく。
