センター試験数学IIB 2009年問題
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[1][1] ,,のとき、の最大値を求めよう。
となる。また
が成り立つから、zは,のとき最大値をとる。したがって、zは,のとき最大値をとる。 [2] の範囲で ・・・(*) を満たすθ について考えよう。
方程式(*)をを用いて表すと となる。したがって、より であり、の範囲でこの等式を満たすθ のうち、小さい方を,大きい方をとすると , である。
について不等式が成り立つ。に当てはまるものを、次の〜のうちから一つ選べ。
ただし、必要ならば、次の値 , を用いてもよい。
さらに、不等式を満たす自然数nのうち最小のものはである。 [解答へ]
[2] 放物線をC,点をAとする。
点Qに関して、点Aと対称な点をPとすると、
, が成り立つ。QがC上を動くときの点Pの軌跡をDとすると、Dは放物線
である。
二つの放物線CとDの交点をRとSとする。ただし、x座標の小さい方をRとする。点R,Sのx座標はそれぞれ,で、点R,Sにおける放物線Dの接線の方程式はそれぞれ
, である。
Pを放物線D上の点とし、Pのx座標をaとおく。Pからx軸に引いた垂線と放物線Cとの交点をHとする。のとき、三角形PHRの面積は
と表される。はのとき、最大値をとる。
のとき、直線HRと放物線Dの交点のうち、Rと異なる点のx座標はである。このとき、の範囲で、放物線Dと直線PHおよび直線HRで囲まれた図形の面積はである。
[解答へ]
[3] を初項が1で公比がの等比数列とする。数列の偶数番目の項を取り出して、数列を ()で定める。とおく。
(1) も等比数列であり、その初項は,公比である。 したがって
である。また、積を求めると となる。
() が成り立つから
・・・@ である。また、この左辺の和をまとめ直すと、,,を用いて ・・・A と表される。
@とAより
となる。
[解答へ]
[4] Oを原点とする座標空間における5点をA,B,C,D,Eとする。ひし形BCDEを底面とする四角錐A-BCDEと、平面ABCに平行な平面との共通部分について考える。
(1) であり、三角形ABCの面積はである。 (2) ,とおく。とし、点を線分BEをa:に内分する点とすると、である。点を で定め、線分と線分AEが交わることを示そう。上の点Pは、を満たすbを用いて と表される。また、AE上の点Qは、を満たすcを用いて と表される。PとQはのとき一致するから、線分とAEは、AEを:に内分する点で交わることがわかる。この点をとする。
点を で定めると、同様に考えることにより、線分と線分ADも、ADを:に内分する点で交わることがわかる。この点をとすると であり、三角形は三角形ABCと平行であるから、四角形の面積は である。
また
[解答へ]
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