センター数学IIB '09年第2問
放物線
をC，点
をAとする。
点Q
に関して、点Aと対称な点をP
とすると、
，
である。
二つの放物線CとDの交点をRとSとする。ただし、x座標の小さい方をRとする。点R，Sのx座標はそれぞれ
，
で、点R，Sにおける放物線Dの接線の方程式はそれぞれ
，
Pを放物線D上の点とし、Pのx座標をaとおく。Pからx軸に引いた垂線と放物線Cとの交点をHとする。
のとき、三角形PHRの面積
は
と表される。
は
のとき、最大値をとる。
のとき、直線HRと放物線Dの交点のうち、Rと異なる点のx座標は
である。このとき、
の範囲で、放物線Dと直線PHおよび直線HRで囲まれた図形の面積は
である。
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解答 全国の予備校サイトや高校の先生方の団体では、こういう問題を適切な良問と持ち上げるのでしょうけれども、こうした問題のために夢を打ち砕かれてしまう才能を思うと、当ウェブサイトは、毎年繰り返されているこうした悪問を一刻も早くやめるべきだ、と、主張致します。
計算のボリュームがあるのに、前半のミスが一生を棒に振る致命傷になってしまうので、難関国立大を目指す皆さんは、検算方法などを工夫するとともに、本番では前半をミスしないように充分に注意してください。制限時間を考えると、実戦的には最後の(ナ)～(ノ)をパスすることが賢明です。
P
とA
の中点がQ
になります。
，
Q
がC上を動くので、
より、
整理して、
D：
･･･① (オ) 2 (カ) 3 ......[答]
と連立すると、
整理して、
∴ 
(キ) － (ク) 1 (ケ) 3 ......[答]
①を微分して、
のとき、
，
Rにおける接線は、
∴ 
のとき、
，
Sにおける接線は、
∴ 
(コ) 2 (サ) 8 (シ) 6 ......[答]
においては、
なので、DがCの上に来ます。P
，H
より、三角形PHRの底辺PHは、
三角形PHRの高さは、PとRのx座標の差で
∴ 
(ス) 2 (セ) － (ソ) 5 (タ) 3
増減表より、
は
のとき、最大値をとります(3次関数の最大最小を参照)。
(チ) 5 (ツ) 3 ......[答]
のとき、Hの座標は
となります。R
とHを結ぶ直線は、
これと①を連立して、
整理して、
∴ 
Rと異なる交点のx座標は
です。
(テ) 1 (ト) 3 ......[答]
の範囲で、放物線Dと直線PH (
)および直線HRで囲まれた図形(右図の黄色着色部分)の面積は、
(ナ) 1 (ニ) 6 (ヌ) 0 (ネ) 8 (ノ) 1 ......[答]
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