センター試験数学IIB 2010年問題
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[1][1] 連立方程式
(＊) 
を満たす正の実数x，yを求めよう。ただし、
，
とする。①の両辺で2を底とする対数をとると が成り立つ。これと②より
である。
したがって、
，
は2次方程式 
･･･③の解である。③の解は
である。ただし、
，
は解答の順序を問わない。よって、連立方程式(＊)の解は
または
である。 [2] 
の範囲で 
･･･①を満たすθ と
の値を求めよう。
一般に、すべてのxについて である。
に当てはまるものを、次の
～
のうちから一つ選べ。 
したがって、①が成り立つとき、
となり、
の範囲で
，
のとり得る値の範囲を考えれば、
または
となる。よって、①を満たすθ は
または
である。
である。
の値を求めよう。①より となり、この式の左辺を2倍角の公式を用いて変形すれば
となる。ここで
であるから 
･･･②が成り立つ。
は②を満たしている。
とすると、
であるから となる。ここで、
より である。
[解答へ]
[2] kを実数とし、座標平面上に点P
をとる。曲線
をCとする。
(1) 点Q
における曲線Cの接線が点Pを通るとすると が成り立つ。
とおくと、関数
は
で極小値
をとり、
で極大値
をとる。
したがって、点Pを通る曲線Cの接線の本数がちょうど2本となるのは、kの値が
または
のときである。また、点Pを通る曲線Cの接線の本数は
のとき
本、
のとき
本、
のとき
本となる。 (2) 
とする。曲線 をDとする。曲線CとDの交点のx座標は
と
である。
の範囲において、2曲線C，Dおよび2直線
，
で囲まれた二つの図形の面積の和は
である。 [解答へ]
[3] 自然数の列1，2，3，4，･･･ を、次のように群に分ける。
1 | 2，3，4，5 | 6，7，8，9，10，11，12 | ･･･
ここで、一般に第n群は
個の項からなるものとする。第n群の最後の項を
で表す。
(
)が成り立ち
(
)である。
よって、600は、第
群の小さい方から
番目の項である。 (2) 
に対し、第
群の小さい方から
番目の項を
で表すと であり
が成り立つ。これより
(
)となる。
[解答へ]
[4] 二つずつ平行な三組の平面で囲まれた立体を平行六面体という。辺の長さがすべて1の平行六面体ABCD-EFGHがあり、
，
である。
，
，
とおく。
，
とする。辺ABをa：
の比に内分する点をX，辺BFをb：
の比に内分する点をYとする。点Xを通り直線AHに平行な直線と辺GHとの交点をZとする。三角形XYZを含む平面をαとする。
(1) 
，
である。ベクトル
は、a，b，
，
を用いて
と表される。 
である。(2) 直線ECと平面αが垂直に交わるとし、交点をKとする。
が三角形XYZの2辺と垂直であることから、
が成り立つ。 以下では、
とする。このとき
である。
を実数cを用いて
と表すと、
である。一方、点Kは平面α上にあるから、
は実数s，tを用いて [解答へ]
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，
，
，
である。
である。よって、点Eと平面αとの距離
は
となる。